证明 设 是问题(2.2)在 的解.把它延拓到区间 的解为 ,这说明问题(2.1)的解是一奇函数,再由引理1知问题(2.1)的解是一增函数.
唯一性同引理1可得.其中 是其上解,  是其下解.
3 定理1的证明
证明取一序列 ,在区间 上考虑问题(2.1),即考虑下列问题
 (2.4)
由引理2知问题(2.4)有唯一解 .
因为 ,所以有如下一致估计
 ,(其中c为常数). (2.5)
又因为是单调的,所以估计(2.5)式暗含
 (其中c为常数) .(2.6)
因为如果 在某点变大,由(2.5)式知将在一个长的区间上保持变大,这与完全变分后等于2的结果矛盾. 用对角线方法[3]可知,存在函数 在 有一子序列在有界区间上一致收敛,
  (2.7)
其中为问题(1.1)的一解.
我们可以推导出存在常数 使得对任意的 都有 (2.8)
事实上,对 (即 ),引入能量函数 
由(3.2)式知
所以
由(2.8)式知不恒等于0,再由(2.7)式知 ).既然 ,说明 存在.又因为 在 增大时一定减小,所以唯一的可能是 .又因为是非减的,说明 .事实上, 是严格增函数,否则,能找到一点 使得 .把问题(1.1)中的方程在区间 上积分,可得出矛盾.
下面证明唯一性. 设 为问题(1.1)的另一解,则有四种可能.
情况一： 和在区间 上至少相交两次.即能找到 使得 , , .由引理1可得
 (2.9)
因为  所以(2.9)式不可能成立.
情况二：和在区间上仅相交一次. 设交点为 ,在区间 上积分,由 得出矛盾.
情况三: 和有唯一的负交点. 由(1.1)式的解为奇函数知和 仍是(1.1)式的解,则把这种情况转化成为了前面两种情况.
情况四: 和无交点. 在区间 上积分,使,显然也矛盾.
唯一性得证,整个定理的证明完毕.
【参考文献】
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[2]高普云,非线性动力学[M].长沙:国防科技大学出版社,2005.
[3] M.R.GrossinhoF.Minhos and S.Tersian, Positive homoclinic solutions for a class of second orderdifferential equations [J].Math.Anal.Appl., 1999,240:163-173.
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[5] S. Carl andD. Motreanu, Extremal solutions of quasilinear parabolic inclusions with generalizedClarke’s gradient [J]. Differential Equations 2003, 191:206–233.
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