一类非线性算子方程A(x,x)=Bx解的存在唯一性定理(图文)

从而又由B的连续性可得 Bx*=A(x*, x*),即x*是方程A(x,x)=Bx在[u0,v0]中的解，解的唯一性利用常规方法易得.

最后在(7)式中令p→∞即得误差估计式(2).

注1 本文定理1将对称压缩中的常数，推广为单调递增的函数，拓宽了定理的适用范围。

推论1 若把定理1的条件ii)换成条件 u0+a(v0-u0)≤A(u0,v0),A(v0,u0)≤v0或u0≤A(u0,v0), A(v0,u0)≤v0-b(v0-u0)，其它条件仍满足，若0<+a <1或0<+b <1则算子方程A(x,x)=Bx在[u0,v0]中有唯一解x*,对任意x0,y0D,且x0≤y0，若作迭代序列

xn+1=A(xn,yn)-a(yn-xn),yn+1=A(yn,xn)n=0,1,2,3,…

或

xn+1=A(xn,yn),yn+1=A(yn,xn)+b(yn-xn),n=0,1,2,3,…

则有误差估计

或

.

推论2 若把定理1的条件ii)换成条件 u0≤A(u0,v0), A(v0,u0)≤v0

其它条件仍满足，则算子方程A(x,x)=Bx在[u0,v0]中有唯一解x*,对任意x0,y0D,且x0≤y0，作迭代序列

xn+1=A(xn,yn),yn+1=A(yn,xn),n=0,1,2,3,…

则有误差估计

定理2设P是实Banach 空间E中正规锥，A:D×D→E是混合单调算子,而B：E→E是连续的非线性算子,且满足下列条件:

i)存在单调递增的函数有

A(v,u)-A(u,v)≤(v-u);

ii)存在,使得 u0+a(v0-u0)≤A(u0,v0), A(v0,u0)≤v0-b(v0-u0);

iii)对任意的u0≤u≤v≤v0，有A(u,v)≤Bu≤Bv≤A(v,u)

记，若a+b<1-,则算子方程A(x,x)=Bx在[u0,v0]中有唯一解x*,对任意x0,y0D,且x0≤y0，作迭代序列

xn+1=A(xn,yn)-a(yn-xn),yn+1=A(yn,xn)+b(yn-xn),n=0,1,2,3,…

且有误差估计

.

证明 仿定理1的证明易证上述结论成立。

注2本文结论对算子A在连续性，紧性方面没有做任何假定.

[参考文献]
[1]DajunGuo,LakshmikanthamV.Coupledfixedpointsofnonlinearoperatorswith
applications[J].NonlinearAnalTMA,1987,11(5):623~632.
 

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