论文导读：达朗贝尔判别法和柯西判别法是判断正项无穷级数敛散性的基本的常用方法。拉贝判别法的判别范围要更广泛些。对于级数求和或和的估值是一个比较复杂的问题。拉贝判别法的推广给出一种用该法判定收敛级数满足要求的和的估值的计算方法。
关键词：无穷级数，拉贝判别法，求和，估值
1引言
达朗贝尔判别法和柯西判别法是判断正项无穷级数敛散性的基本的常用方法，这两个方法是基于把所要判断的级数与某一等比级数相比较的想法而得到的。也就是说，只有那些级数的通项趋于零的速度比某一等比级数收敛速度快的级数，这两方法才能鉴定出它的收敛性，如果级数的通项收敛速度较慢，它们就无能为力了。博士论文，求和。博士论文，求和。拉贝判别法的判别范围要更广泛些。博士论文，求和。博士论文，求和。对于级数求和或和的估值是一个比较复杂的问题，通用的求和方法比较少，拉贝判别法的推广给出一种用该法判定收敛级数满足要求的和的估值的计算方法。博士论文，求和。博士论文，求和。
2 拉贝判别法及其研究
2.1 预备知识
2.1.1定义 (误差界对）称递减序列对 为级数 的误差界对，其中: ， ，且当n充分大时， .这样，S属于[ ]，其区间长度 .
2.1.2定理 (积分法） 设级数 可由积分判别法证明收敛，且设 ，则 为级数 的误差界对.
2.1.3定理(拉贝判别法)若 ，( ， 为常数)，当n充分大时， .则：
(ⅰ)  时，级数收敛；(ⅱ) 时，级数发散.
2.2 拉贝判别法及其推广应用举例
定理(拉贝法) 若 ，( ，为常数)，当n充分大时， .则：
(ⅰ)若{ }递减至极限，当 时，级数的误差界对为:（ ， ），( 取 ， 为正数)；
(ⅱ)若{}递增至极限，当时，级数 的误差界对为:({ }， )，(取 ，为正数).
证 (ⅰ)一方面，{ }递减至极限r，取 ，为正数，可证明 ，所以 ， ，…
进一步得
记 为(*)，其为 的和的余式部分。由积分法可得: ，代入(*)式得 .（1）
另一方面，不妨设 ，有 .又{  }当 时递减，所以 ，进一步有
 ，
所以  (2)
由(1)和(2)命题得证.
(ⅱ)同理可证明.
例1 判断级数 的敛散性.
解:因为 ，所以达朗贝尔判别法不适用.其次，有 .这样，当 时级数发散，而当 时收敛；当 时得到一个发散的调和级数(缺第一项).
例2 求级数 的和，使误差小于 .
解： .而 ，由拉贝判别法知该级数收敛.易证{ }递减至极限2，当 时，取= ，级数 的误差界对为:({ }， ). 要使  ，即 .可得
  +  
=0.117316+0.111654=0.118971与S的误差小于.
[参考文献]
[1]Bart Braden. Calculating Sums ofInfinite Series[J]. Amer. Math. Monthly，1992，(7).
[2]T.M.菲赫金哥而茨. 微积分学教程[M]. 北京大学高等数学教研室，译.高等教社，1954.
[3]华东师范大学数学系.数学分析[M]. 高等教育出版社，1991.
[4]孙珍.关于无穷级数求和的研究[J].数学杂志，2009，(4).
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