于是由定理1知为区间上的凸函数。免费论文参考网。
定理2 设为区间内连续，不等式在任何含于的闭区间成立，则是内的凸函数。
证明 反证法假设不是内的凸函数，由定理3，对
，存在，使得。不妨设，作辅助函数，其中。则
=
又因在内连续，故也在内连续，当然在内连续，因此在内能够取到最大值，记在内取到最大值为，。取，，当时，有，且不恒为0，因此，，即，即
，再由的定义得到，矛盾，假设不成立，故为内的凸函数。
参考文献： [1] 华东师范大学数学系.数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004年8月 [2] 刘徳祥 刘绍武.数学分析方法选讲[M].哈尔滨：黑龙江教育出版社，1994年12月 [3] 冯德兴.凸分析基础. [M].北京：科学出版社，1995年1月 [4] 刘鸿基 薛明志.关于凸函数的两个充分必要条件[J].菏泽学院学报,2006年4月
3/3 首页 上一页 1 2 3
内的任意三点
，由第一部分证明得到
为区间
在任何含于
成立，则
，存在
。不妨设
，作辅助函数
，其中
。则
=
也在
内连续，因此在
，
。取
，
，当
时，有
，且不恒为0，因此，
，即
，即
，矛盾，假设不成立，故