先证明第二个不等式。令，
如果，则第二个不等式成立。免费论文参考网。因此只考虑为有限的情形，令
，显然在处处右可导，且，现在证明是中的不减函数，即
，，
事实上，，，存在，使得
，
现在设 ，我们来证明。如果不然，则有，从而由的定义和的连续性知，但对于，又有，使得，这显然与的定义相矛盾。于是由的任意性知
成立。根据的定义，上式也可以写成
由此利用的连续性得到
为了证明第一个不等式，令即可。免费论文参考网。
其次证明为区间上的凸函数
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，则第二个不等式成立。
为有限的情形，令
，显然
在
处处右可导，且
，现在证明
中的不减函数，即
，
，
，
，存在
，使得
，
，我们来证明
。如果不然，则有
，从而由
的定义和
，但对于
，这显然与
的任意性知
，
的连续性得到
即可。免费论文参考网。