论文导读：在理论与实际中获得偏微分方程的精确解十分重要，Darboux尝试了简单的方法，应用微分形式，这便是后来知名的Darboux变换[1,2,3,4,5,6,7,8]。此处，Dirac系统中的位势q和r恰为AKNS系统中的位势u和v的实部与虚部。
关键词：Darboux变换，Dirac系统，孤波解
1、引入
在理论与实际中获得偏微分方程的精确解十分重要，Darboux尝试了简单的方法，应用微分形式，这便是后来知名的Darboux变换[1,2,3,4,5,6,7,8]。构造Darboux变换的关键是保证相应的谱问题本身拥有的协变性。行列式被广泛应用于可积系统，可积方程的解通常被表示为行列式的形式，例如：行列式解，casorati行列式解及Gram行列式解。n重Darboux变换的行列式解可以不通过n次迭代而直接构造出来。
文中，我们主要考虑n重Darboux变换后生成的 孤波解用特征函数构造出来的行列式表示出来。我们考虑Dirac谱问题：
 ， （1）
 . （2）
在Dirac孤波谱中，我们可以得出第一个非线性Dirac系统：
 （3）
此式为Lax对的相容性条件，通过规范变换：
 (4)
及简单的运算，我们得到Dirac谱问题：
 ,(5)
 .(6)
此处，Dirac系统中的位势q和r恰为AKNS系统中的位势u和v的实部与虚部。
 为方程(5)与(6)关于特征值 的向量解，又称为相应的AKNS系统的特征函数，那么 即为与 个不同特征根 (其中 )相应的AKNS系统的特征函数，在此需特别注意 。此外，对应于不同特征值的特征函数是线性无关的，即当 时， 与 线性无关。
本文的目的便是从 重Darboux变换的角度来考虑孤波解，在第2部分，我们将给出由n重Darboux变换及n-孤波解所得的特征函数的行列式表示。第3部分，我们给出总结及下一步要探讨的问题。
2.孤波解
假如 是Lax对(5)与(6)的一向量解，则 为Lax对的对应于谱参数及Dirac系统特征函数矩阵的另一向量解。我们寻求：
 (7)
在“种子”解 或 情况下，那么特征函数 与相关， 与 相关，其中 ， ，
 ， 。特别地，奇数次特征函数 ，  。即对应于特征值 的奇数次特征函数为：
 ，
对应于特征值 的偶数次特征函数为：
 ，
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