令 ，则 ；
令 （ ≥ 为奇素数），则 .
综上，定理 得证.
再证定理 .根据引理
令 （ 为非负整数），则
 ；
令 （为非负整数），则
 ；
令 （为非负整数， 为奇素数），则
 ；
令 （为大于的正整数， 为适合 的奇素数），则
 ；
令 （为正整数，、为不同的奇素数），则
 ；
令 （为大于 的素数），则
 ；
令 （为非负整数，为大于的素数），则
 ；
令 （为非负整数，为奇素数），则
 .
综上，定理得证.
由定理很容易算出在1—100的范围内，当 1，2，3，4，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，18，19，20，21，23，24，26，27，29，30，31，32，35，36，37，38，39，40，41，42初等方法，43，45，47，48，49，50，51，52，54，55，57，59，62，64，65，66，67，69，71，72，74，77，79，81，82，83，84，85，87，88，89，90，91，92，95，96，98，99时， 都是优美指数.于是我们猜测：若6，10，14，22，25，28，33，34，44，46，53，56，58，60，61，63，68，70，73，75，76，78，80，86，93，94，97，100，则都不是优美指数，从而进一步猜测：存在无穷多个正整数不是优美指数.
参考文献
[1]Murthy A..Some more conjectures on primes and divisors[J].Smarandache
NotionsJ,2001(12):311-312.
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