| 当采用有限元法时，图2所示有n个自由度的帆板的运动方程为[5]
 (4)
式中, 表示挠性变形对时间的偏导，即 ； 表示挠性变形对时间的二次偏导，即 ； 为嵌入形状记忆合金丝帆板的质量矩阵； 嵌入形状记忆合金丝帆板的阻尼矩阵； 分别为嵌入形状记忆合金丝帆板的刚度矩阵； 为nXm维控制装置位置矩阵，当第i个自由度上装有第j个控制装置时， ,其余元素为0； 为外扰力的位置矩阵，在这里 , 为单位列向量。
与式(4)相对应的2n个自由度的状态方程为:
 (5)
式中，z为 维状态反应向量， ； 为 维系统矩阵， ； 为 维控制装置位置指示矩阵， ；
 为表示外扰力作用的 维向量， 。其中O、 分别为n维零矩阵和n维单位矩阵。
4.最优控制算法
式（5）为帆板的动力学方程，主动控制中，关键问题是如何确定控制力向量 为1维控制力向量，按式（3）计算； 为1外维扰力向量。而主动控制算法是确定控制力的基础，它的目的是使主动控制系统在满足其状态方程和各种约束的条件下，选择合适的增益矩阵，寻找最佳的控制参数，使系统达到较好的性能指标，实现对结构的最佳控制。
对于状态方程(5),COC算法采取如下的二次型目标函数:
 (6)
其中,t0为控制开始的时间；tf为控制终止的时间；P是状态向量权矩阵，为2nx2n维半正定矩阵；L是控制力向量权矩阵，为rxr维正定矩阵。
根据Hamiltonian极值原理，在式(6)的约束下，极小化式(6)所定义的目标函数，可得到COC的闭环控制的最优控制力为[6]
 (7)
其中， 为反馈增益矩阵， 为Riccati矩阵，有下列微分方程决定，
 (8)
大量的计算经验表明，矩阵在[t0,tf]内的很大一段时间间隔内都是常数矩阵，只是在接近tf的很短的一段时间间隔内迅速趋于零.因此，式(8)退化为非线性矩阵方程，
 (9)
与此对应的控制为 (10)
将上式代入帆板运动方程得到 (11)
其中 。
5．计算程序及算例分析
为说明前述的控制方法的有效性，编制了MATLAB程序对一帆板受迫振动时的主动振动控制进行了计算机模拟。帆板的尺寸为长350mm，宽25mm，高1mm。本文选用的SMA的直径为0.2mm，初始马氏体百分含量为30%，初始应变为2%，环境温度20℃,、。在本例中，每个SMA驱动器由4根SMA丝组成，每个SMA丝的编号如图3所示。
在本文中,帆板固定端输入的载荷为频率为3.18Hz的余弦受迫荷载。图4为有控和无控情况下的梁端位移时程曲线。其中虚线表示无控时，实线表示有空时。当无控时，帆板端的最大位移为10.2mm，当采取主动控制时，帆板端的最大位移减小到了0.43m,减小了95.8%，主动控制有效地抑制了帆板的振动。
图4 受迫载荷下有空和无控时的位移时程曲线
6.结论
在航天器的机动过程中，利用本文设计的SMA驱动器，可以实现帆板的最优主动控制，有效地减小帆板的振动，从而保持机动过程平稳,并迅速实现高精度姿态定位，改善系统的性能。
参考文献：
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