论文导读：运用交替方向隐式格式（ADI方法）对典型的二维对流扩散方程进行了数值求解，并利用编程软件C、Matlab结合实例进行了数值模拟研究。结果表明：ADI方法具有运算速度快、收敛性好、精度高等特点，具有良好的应用前景。
关键词：对流扩散方程，交替方向隐式格式(ADI方法)，数值模拟
1 引言
对流扩散方程是表征流动系统质量传递规律的基本方程，求解此方程可得出浓度分布情况，其数值计算方法的研究一直受到人们的广泛重视。选取合适的数值计算方法进行求解具有重要的理论和实际意义。考虑以下具有特殊边值条件的二维对流扩散方程：
（1）
其中为具有 边界的有界区域，且  。论文格式，数值模拟。
方程（1）在工科数值模拟计算中具有广泛的应用，尤其在描述各种物质的浓度等扩散过程的物理现象中有极为重要的作用。目前，在研究如何利用用有限差分法解其中的对流占优扩散方程时，必须要考虑到解对流占有扩散方程时经常遇到的问题：非物理震荡和数值扩散[1,2]，所以选取合适的数值计算方法，从而合理解决上述谈到的问题是非常重要的。基于此，本文选用交替方向隐式格式（ADI方法）[3,4]来求解二维对流扩散方程，此方法除有效的解决了上述问题之外，更有其他方法所没有的优点：计算速度快，加快收敛速度，是一种稳定、高效的数值算法。
2 交替方向隐式格式
在对方程（1）进行求解时，考虑到用隐式方法求解二维问题得到的线性方程组其系数矩阵为宽带状，所以求解起来很不方便，因此本文采用ADI方法来求解，并且此格式是无条件稳定的[2]。具体过程可分为两步，第一步先求出第 层与第层的中间值：
 （2）
式中： ，为巷道长度， 为模拟巷道长度时所分的步长；
 ，为巷道宽度， 为模拟巷道宽度时所分的步长。论文格式，数值模拟。论文格式，数值模拟。
设，则上式可化简整理为
（3）
对式（3）中每一个 令从1到 循环，则都能得到系数矩阵为三对角矩阵的线性方程组，其系数矩阵均为
（4）
对每一个解三对角线性方程组即可得一列的中间值，最终将得到除某些边界值的所有中间值，然后将这些边界值取与之最接近的已求得的中间值，这样就得到了所有 的网格上的中间值，此时就可以进行第二步：
（5）
设，则上式可化简整理为：
 （6）
对式（6）中每一个 令从1到循环，则都能得到系数矩阵为三对角矩阵的线性方程组。其系数矩阵均为
 （7）
对每一个解三对角线性方程组即可得一列所求值，最终得到所有第 层的所有值。
至此，便完成了一个时间单位上的计算，即由第层得到第层的值，又由题中条件知当=0时所有值为0，这样对循环就可以求出所有时间所有坐标的值。
3 应用分析
为了检验ADI方法的有效性，本文利用上述算法结合毒气泄漏问题编制程序进行数值模拟。选取长为40m，宽为40m的正方形管道毒气泄漏模型，在管道左下角处有一缺口以 m/s的速度喷出有毒气体。
根据以上建立的模型，采用ADI方法进行计算，取毒气喷出后水平扩散速度 为1m/s，竖直扩散速度 为0.7m/s，扩散系数 为0.5，空间步长 0.5m， 0.5m，时间步长 0.1s，则此时的二维毒气管道模型变为80×80。运用C语言，Matlab对方程进行编程数值模拟求解，并用Tecplot软件做图，得到了毒气对流扩散的浓度等值线图，如图1-4所示。
图1 t=4s的毒气浓度等值线图 图2 t=8s的毒气浓度等值线图
图3 t=16s的毒气浓度等值线图 图4 t=24s的毒气浓度等值线图
再者，在计算时间上，将本文计算所用时间与文献秦新强[7] 等计算的结果相比较，对比结果如表1所示。论文格式，数值模拟。
表1 ADI方法与两重网格算法的计算时间比较表
| 计算精度 |
CPU时间（文献[7]） |
CPU时间（本文） |
| 0.166666 |
10.6” |
8.55” |
| 0.1 |
165.9” |
158.5” |
从表1中可以看出，在同一误差水平下，ADI方法比两重网格算法具有计算速度更快的优点，更适合用于对流扩散方程的求解。论文格式，数值模拟。
4 结论
本文利用ADI方法来求解二维对流扩散方程，并结合实例验证了此方法的有效性。论文格式，数值模拟。通过上述讨论及与前人结果对比可知：ADI方法其关键就在于“交替方向”，因为其将要解的系数矩阵为宽带状的线性方程组转换成了容易求解的系数矩阵为三对角矩阵的线性方程组，故而提高了计算速度，是解对流扩散方程的一种稳定性好、消除了数值震荡等现象、计算速度快的方法，是一种值得推广的稳定、高效的算法。
参考文献
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[7] 秦新强,党发宁,龚春琼等.二维非线性对流扩散方程的特征混合有限元两重网格算法[J].计算机技术及发展,2009,19(7):137-140
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