精确频率约束下框架结构的尺寸优化

对图1中的三杆框架模型，在半径R取不同的值，采用不同模型模拟结果如表1所示（表中case1表示一根梁划分一个有限单元计算，case2表示一根梁划分两个有限单元计算，case3表示一根梁划分三个有限单元计算）。论文格式，w-w算法。

表1 三杆框架结构不同模型、网格计算的基频比较

则由表1和表2可见，一根梁作为一个单元采用静力刚度阵法得到的结果与精确解的误差比较大，要得到较精确的频率值特别是高阶频率时静力刚度法需要加大有限单元密度，这会降低优化计算的效率，而采用动力刚度法仅需要每根杆件划分为一个动力梁单元就能够得到较精确的频率值，并且能够有效的避免漏根，计算方法也比较简单方便，普通的LDLT分解或者高斯消元（不必要选主元）即可。论文格式，w-w算法。

表2 三杆梁模型不同阶数计算频率比较

表2中动力刚度阵法每根杆件仅划分为1个动力梁单元。

4约束优化列式及敏度分析

4.1优化列式

我们考虑要求结构的基频大于指定下界，以结构重量最小为目标的框架结构尺寸优化问题，其列式如下：

（6）

其中，为结构的基频，为频率约束下限，分别为杆件的密度、横截面积和长度，m为结构中杆件总数。其中方程是的超越方程。

优化列式（6）中，我们可以选择中不同的参数作为设计变量，本文选取面积A为设计变量，讨论框架结构的尺寸优化。

4.2 目标及约束函数灵敏度分析

优化计算比较关心的一个问题是优化列式中目标和约束对设计变量的敏度计算，通常如果能够给出解析的敏度计算则能提高优化的效率。下面给出本文优化列式（6）的解析敏度计算公式。

目标函数对设计变量的敏度：

约束函数对设计变量的敏度：

可由2.2节中Newton法求解频率特征值方程的式（5）中各项对设计变量A求导得到，这里记精确值为，则由式（5）

上式两边同时左乘，带入5式可以得到：

其中，频率约束以及刚度阵对设计变量的敏度可以方便的从式（1）和式（2）求得。

5. 优化实例

5.1十杆刚架优化算例

十杆刚架模型如图2所示，左端固定，杆长L=1m，材料参数为：,，假设梁截面为圆截面则。优化目标是刚架结构的重量，杆件的面积为设计变量，保证结构基频大于下限值前提下，使结构重量最轻。所有单元初始面积都取为：。本例中分别研究了不考虑集中质量与考虑集中质量（这里的集中质量是指如图2（b）红色圆点表示的节点上的一个集中质量点）对优化结果的影响，模型如图2 case1和case2 所示。

(a) case 1 无集中质量(b) case2 有集中质量

图2 10杆梁模型

Case2 中集中质量为10KG。设计变量的上限为：，下限在表3中定义。结构频率分析采用第1节描述的精确动力刚度阵法，每根杆件划分为一个单元，优化算法采用MMA，优化结果列于表3，其优化后结构尺寸及振型如表4所示。

表3 十杆梁优化结果比较

观察上述结果，我们发现杆件截面积下限的取值对优化结果有着显著的影响。以无集中质量的case1为例，当杆件截面积下限分别取0.1 cm2，1.2 cm2，5 cm2 时，对应的最优结构重量分别为18.7763，18.8555，20.4169Kg，三种优化结果均可满足结构基频大于50Hz的要求。容易理解的是截面积下限取值越大，最优结构的重量也相应变大；但有意思的是，过小的下限值同样会使优化结果收敛到更大的结构重量。而当截面积下限值大于某一临界值时，优化过程易于收敛到更优的结果。这一临界值可以如下求得：假设杆件为两端固支梁，按照材料力学理论可以确定此构件局部弯曲振动的基频为：

，这里，令，代入可求得。另外从优化结果可以看出在无集中质量时靠近约束端（左端）的梁相对较“细”，而有集中质量时由于集中质量的影响离约束近的梁相对就较“粗”。

同时我们看到表3无集中质量的case1优化结果中，1号与4号，2号与3号，6号与9号，7号与8号杆的截面积相等，最优结构具有一定的对称性，同时5号杆的截面积较大，用于加强两个框的连接刚度，提高结构基频。Case2考虑集中质量的影响，我们发现由于不对称集中质量的存在，最优结果中的对称性不再存在，1号与4号杆截面积较大，6号和9号杆截面积相对较小，5号杆由于要连接两个框截面积也较大，这样的截面积分布可以有效的提高当自由端有集中质量时结构的刚度性能。同时，在Case2的优化结果中，我们可以观察到与Case1类似的截面积下限对最优重量也有较大影响。

表4 10杆梁最优结果及振型比较

	Case1(cm2)			Case2(cm2)
变量下限	0.1	1.2	5.0	0.1	1.2	5.0
最优形状
最优振型

5.235杆钢架优化算例

为考察算法对大规模结构问题的适用性，对如图3所示的刚架结构进行优化。L=1m，梁截面为圆截面。以单元梁的横截面积为设计变量，保证结构基频大于前提下，使结构重量最轻。所有单元初始面积都取为：。材料参数与5.1中十杆刚架例题相同。同样考虑没有集中质量(图3(a))和有集中质量(图3(b))两种情况，有集中质量时集中质量为50KG。结构频率分析采用精确动力刚度阵法，每根杆件划分为一个单元，优化算法采用MMA，优化结果列于表5，表6为最优结果形状及振型。

(a)Case1 无集中质量

(b)Case2 有集中质量

图3 35杆梁模型

表5 35杆梁优化结果比较

表6 35杆优化结果及振型

	Case1(cm2)			Case2(cm2)
变量下限	0.1	5.0	9.0	0.1	5.0	10.0
最优形状
最优振型

从上面的算例可以看出本文的优化模型对较大规模的例题也可以给出较好的优化结果，优化后结构的一节振型呈现出扭转模态，这是因为T字型优化结果中T字下部的梁相对较“粗”，而T字上部梁有较多“细”梁而呈现出来扭转振动。论文格式，w-w算法。

从上面的两个算例可以看出，同一频率约束下，不同的设计变量（面积）下限，优化结果（重量及设计变量值）随着下限值的变化而变化。特别值得指出的是由表3到表5的优化结果可以看出，节点不管有无集中质量，在下限很小如表3和表5中0.1时，优化结果达不到下限值，即当设计变量下限小于单根梁局部振动的临界截面积时，优化结果中没有一根梁会达到设计变量下限，这样就无法删除优化结果中“低效”的纤细杆件，无法实现从尺寸优化向拓扑优化的连续过渡。

另外由表3到表5的优化结果可以看出，节点不管有无集中质量，在下限很小如表3和表5中0.1时，这时候优化的结果得不到下限值，当优化模型中设计变量的下限取值相对较“大”时，即表3和表5中下限1.2和5.0，（结构中最长梁在简支约束下基频大于约束频率对应的面积下限），通过优化模型得到的优化结果可以得到下限值，但此时的下限值仍为一较大数值，这时是无法按照一般拓扑优化的操作“删除”这些下限梁的。

6. 讨论

本文利用动力刚度法研究精确频率约束下的框架结构的尺寸优化，通过对三杆梁频率模拟分析发现，要得到较精确的频率值静力刚度法需要划分较“细”的有限元网格，特别是高阶频率计算时，需要划分的网格密度越大，动力刚度法则需要较少单元就能得到较精确频率值。通过本文的研究发现在结构中没有集中质量的时候一般是以尺寸优化为主，要想实现拓扑优化要求基结构必须充分的丰富，而考虑集中质量时因为集中质量的影响很大，单纯尺寸得到的结果不是很令人满意的，这时候要想得到较好的结果需要更好的拓扑优化方法。本文也为进一步实现频率约束下的框架结构拓扑优化奠定了前期基础。

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