其中 为单位矩阵， 为足够大的正数， 为足够小的正数。
3.自适应控制算法
极点配置自校正PID控制器的参数校正原则是，通过PID参数的选择使系统成为具有期望的闭环特征方程。
增量式PID控制算法
 (3.01)
其中 为积分系数； 为微分系数； 为采样周期。
对(3.01)两边进行 变换，得增量型数字PID调节器的脉冲传递函数表达式
 (3.02)
其中，方程组(3.02) 对 、 和 有唯一的解。
 (3.03) (3.04)
由于和均为正的标量，故必须对 、 和 施加某些约束条件。当 时，其约束条件为：
 (3.05)
在数字系统中，通常采用带有数字滤波器的PID调节器算法
 (3.06)
假设被控对象的数学模型可用CARMA（受控自回归滑动平均模型）描述
 (3.07)
其中 、 、 被控对象的输出、输入和不可测的扰动噪声； 为滞后一步算子，即 ； 为滞后步数； 、 、 均为的多项式。
 (3.08)
其中 、 、 分别为多项式、、的阶数；一般为已知，但系数 和 为未知参数，可以通过在线辨识获得。
图3-1 控制系统结构图
典型的闭环计算机控制系统如图3-1所示。系统的闭环传递函数为
 (3.09)
按增广型自校正闭环极点配置的要求[3] ，闭环特征多项式应满足
 (3.10)
通常以典型的二阶系统闭环传递函数的标准形式
将其离散化得到对应的离散特征多项式为：
 (3.11)
其中 为无阻尼自然振荡角频率； 为阻尼比。
由图3-1可直接写出自校正PID调节器输出的表达式
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