 和 分别是主不变量 和 的非线性函数，且均为二次连续可微的；本文中，考虑如下一类特殊的可压缩超弹性材料模型，其应变能函数 的形式为
 (13)
其中 是材料常数，是二次连续可微的非线性函数．特别地，当 是的线性函数时，式(13)称为可压缩的Varga材料模型[10]，因此称式(13)为可压缩的广义Varga材料模型．由正规化条件(10)，有
 ， (14)
其中 表示对宗量的导数．另一方面，为了确保材料的力学行为的合理性，应变能函数还必须满足强凸性条件[1]，从而有
 (15)
至此，由各向同性可压缩的广义Varga材料模型(13)组成的圆柱体在给定的表面径向伸长  和轴向拉伸（压缩） 共同作用下的轴对称变形问题的数学模型由基本控制方程(5)、应变能函数(13)，边界条件(7)和(8)组成．
2 控制方程的解及其定性分析
2.1 参数型解析解和空穴分岔解
显然杂志网，对任意给定的 ，控制方程的一个平凡解（称为均匀变形解）为
 (16)
它对应于柱体内部的径向位移 ．
将式(13)代入到方程(5)，则有
 (17)
其中由式(12)3给出．由式(2)可知 ，且根据式(15)，从而得到
 (18)
其中 是一个积分常数．由式(18)不难得到径向变形函数的通解形式为
 (19)
其中 也是一个积分常数．
下面利用边界条件(7)和(8)确定积分常数 和 ．由外边界条件(7)得
 (20)
进一步地，将式(13)代入到式(6)1，得到
 (21)
由式(19)可得 ．由式(21)和内边界条件(8)得
 (22)
综合上面的分析可知，对于任意给定的，由式(19)和(22)知， ，即 是方程(22)的一个解，它对应于柱体内部均匀变形解；若存在 ，使得 ，则可由求得，即满足边界条件的控制方程(5)有两个解，除平凡解外，还有一个非平凡解(19)．
至此，对应于由可压缩的广义Varga材料(13)组成的实心圆柱体，式(19)便为在给定的径向拉伸和轴向伸长共同作用下的轴对称变形问题的精确解．
在圆柱体轴线上，对于任意给定的， 是方程(22)的一个解，称之为方程(22)的平凡解；另一方面，可以求得圆柱体内部有空穴生成时的临界伸长为
 (23)
即方程(22)在临界点  处从平凡解处发生分岔，非平凡解 （代表空穴生成后的半径），其中 ，且由方程确定，从而称(22)为空穴分岔方程．
另一方面，当 时，与均匀变形解相对应的径向位移为
 (24)
当 时，与空穴生成后的解 相对应的径向位移为
 (25)
2.2 柱体内部的应力分布
下面讨论柱体内部发生空穴分岔时的应力分布．
当 时，对应于均匀变形解 ，有 ， ，因此柱体内部的径向应力环向应力相等，即
 (26)
当时， ，径向应力和环向应力分别为
2/3 首页 上一页 1 2 3 下一页 尾页 |
