层面理论的核心技术概念——映射语句_映射与分配

论文导读:：作为研究中的观察内容的设计及进行分类参照，映射语句将内容层面、被试层面以及反应范围层面链接起来，表达了研究中各种观察变量之间关系的基础假设。本文重点介绍层面理论的核心技术概念，也对映射与分配、幂集、笛卡尔积、笛卡尔集等相关概念做了简要介绍。本文同时也介绍了一些优化映射语句、简化了研究设计的方法与技巧。
论文关键词：层面理论，映射与分配，幂集，笛卡尔积，笛卡尔集
 

引言

2005年，本人与江新会联名在贵州师范大学学报自然科学版发表了论文“行为科学研究设计与理论建构的一种重要策略――层面理论^[1]”一文，通过中国知网搜索，到2009年该文已经被引用11次，被下载118次。中国知网的搜索结果显示，在我国层面理论已经被应用于心理学研究^[2,3,4]、高等教育研究^[5,6]、教育理论与教育管理研究^[7,8]、临床医学研究^[9]等多个领域。另外，2010年年初，国际层面理论学会执委会决定，两年一次的国际层面理论学术大会第13次会议将于2011年7月在中国贵阳贵州师范大学召开。这表明，层面理论已经在我国得到越来越多的应用，也引起了国际同一领域学者们的兴趣。为了帮助更多的人能了解和正确使用层面理论，本文对其核心概念——映射语句做专门介绍。

层面（facet）、元素（elements）和映射语句（mapping sentence）是层面理论中的三个重要概念，其中，映射语句是层面理论最具独特性的技术概念^[10]。Guttman和 Levy都曾指出映射语句也是问题空间和被试在特定情景下所做反应范围空间的清晰描述^[11]。在层面理论中，映射语句是一个较为复杂的概念，要准确理解与把握这一概念需要对映射与分配、幂集、笛卡尔积、笛卡尔集合等概念有所了解，本文在介绍映射语句时也同进对这些概念做但要介绍。另外，映射语句的设计与优化是一项复杂工作，本文也对优化映射语句的方法与技巧做了讨论。

1.映射与分配的意义

映射概念最初见于/出现于地理学，数学中的映射概念源于地理学，层面理论的映射语句以映射理论为基础，其中的映射又借用了数学中的映射概念，把映射和分配这对概念巧妙地应用到映射语句中，使得应用于自然科学的概念应用到社会科学和行为科学中来，成为层面理论的理论基础。

映射是从一事物到另一事物的对应关系，分配则是一个相反的过程。

层面理论借用了数学中的映射概念，用于问题构想以及对科学理论结构的探索。映射和分配这对概念对所有行为科学的分支都是非常有用的。本文介绍这一思想框架，并举例说明如何用映射和分配来构思研究内容。

图1中的照片是意大利（陆地和水），右侧绘制的图形是按1：2的比例制作的意大利地图。绘制意大利地图（或者映射意大利）实际就是在纸上再现意大利的地理特征，比如城镇、河流等等。描绘的每一个特征都是一个重要的目标，这些特征在地图上的表示即是它的镜像。换句话说，意大利的每一个焦点（重要特征）在地图上都分配了一个象。

图1. 映射的概念：意大利的位置分配（映射域；这里用卫星照片表示）和意大利地图上的点（映射范围）。层面理论从数学领域借用了“映射”的概念，而数学中的“映射”概念来源于地理学。

执行这些分配的法则叫做映射。一个映射被看作是一个转换：域（意大利）中的点被变换成范围（意大利地图）内的清晰可辨的象点。

数学借用地理学的术语“映射”，命名了一些类似的事物：从一个集合（定义域）向另一个集合（值域）分配元素。中学数学中，函数f: X→Y，从域集X到值域集Y，可以表述为数集到数集的映射。（X、Y可以是相同的也可以是不同的集合）。

例如，假设X是一个整数集（正整数、负整数和零），设想函数y=x²。这个映射从由正整数和零组成的集合Y中分配给集合X中的每个整数X一个数值，这种分配可以用图形表示（如图2.a和2.b），也可以用表格表示（见表1）。在学习这些映射表达式时，要注意：一个焦点只有唯一一个象，但一个象可以有多个焦点（-3和+3在x²的映射条件下有9作为它们的值域）。

任何其他映射（比如y﹦x﹢2），也可使用。在某种意义上说映射与分配，地理映射与数学映射没什么不同：两者都涉及值域（每个象）的每个元素对域中每个元素（焦点）的分配。在上面的例子中，映射y=x²把9分配给3，映射y﹦x﹢2把5分配给3。

假设我们关注一个中学生Ann，问她一个问题“Ann，你只爱谁？”，这个问题的反应范围是｛David，Ian，Barnard，……｝，这是Ann的男同学集。通过调查（比如向Ann直接提出问题）可以得知Ann爱John。我们可以写作：

Ann＝>John

爱

就是说，映射y=“某人x爱”分配John给Ann。特定的分配用双线箭头表示出来，这样分配的法则就明确了。

班里其他女生还有不同的分配：

Susan ＝> Frank

Mary ＝> John

Nancy ＝> Sam

这些分配的集合就构成了一个映射，女生的集合是映射的领域，男生的集合是映射的反应范围。

函数中还存在多元函数，例如，h(x,y)=x+y是一个分配x+y值给每个数值对x和y的一个映射，这个映射可以用图形或者表格来呈现。就是说，在一个映射中一个焦点可以是来自单一集合中的单个元素，也可以是来自众多集合中某一指定集合中选出的元素组成的一个二元组（或三元组，等等）。总的来说，给定n个集合中的任一数值，一个n元组（即二元，三元等等）可以由每个n成分集合中选出一个元素组合而成。由这种方式组成的所有n元组的集合称作一个笛卡尔集合。在一个笛卡尔集合中的每个元素组合都是一个层面。h(x,y)=x+y映射是来自于笛卡尔集的XY，而不是来自于单一元素的集合。

Domain-4 -3 -2-1 0 +1+2 +3 +4

Range 01 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16

图2.a. y=x²：整数集到非负整数的映射

图2.b. 映射y=x²的图示

表1. x→x²的所有映射数值

2.服务于观察设计的映射：映射语句

每个限定反应范围的问题都是一个映射，每个带有答案的问题都是一个分配。它提供了一个方式，把观察问题的整个系统纳入到一个统一的框架下中国期刊全文数据库。反过来，这个统一的框架有利于清晰、灵活地设计和调查研究问题。

可以假定下面的陈述：

Mary爱John。

虽然在日常言语中这个陈述看上去是清晰的，但是作为一个科学问题的答案时，它的意义却是模棱两可的。正如我们看到的，它可以是下列问题中的任何一个问题的答案：

Mary爱谁？

Mary对John的态度是什么样的？

谁爱John？

第一个问题：Mary爱谁？这个问题所关心的焦点是Mary，数值“John”从集合中所有可能值选出来分配给Mary。这个分配可以表达为：

Mary ＝> John

爱

在现实情况下，焦点（这里是Mary）可能只是来自某一个特定集合中的一个元素，比如，一大学中某学院所有女孩的集合，或指定的某一大学所有学生的集合，或指定的某一城市所有女孩的集合。具体来说，假设焦点集是｛Mary，Sara，Janice，Susan｝，焦点对应的象（这里是John）也是指定集合的一个元素，如果这个集合来自大二所有男孩的集合，那么我们的象集可以是｛John，Frank，Bob｝。

分配（这里是“爱”）的法则或意义也可以是来自明确的意义集合，起初看上去并不明显。举例说明，爱是来自于人际关系集合中的一个元素，其他可能的元素是钦佩，讨厌，友好，发怒。纵向表达这个“意义集”：

｛爱 ｝

｛钦佩｝

｛讨厌｝

｛友好｝

｛发怒｝

通过一个法则（意义，比如：爱）给焦点（女孩）的所有可能的分配（男孩），可用图式表达为：

焦点意义象

｛Mary｝ ｛爱 ｝｛John ｝

｛Sara ｝ ｛钦佩 ｝→｛Frank｝

｛Janice｝ ｛讨厌 ｝｛Bob ｝

｛Susan｝｛对其友好｝

｛对其发怒｝

上图是从焦点集和意义集到反应范围（预先明确的象集）的所有映射的一个总体框架，这种映射框架的表达式称为映射语句。映射语句指明了映射的领域和映射的反应范围，领域由焦点集和意义集组成，反应范围是可以分配给焦点的象集。映射语句中将领域和反应范围分开的箭头说明了领域中的元素与反应范围内的元素之间的对应分配（转换）关系。单线箭头用于表明映射框架，双线箭头仅用于表示某个特定的分配。一个映射语句每个层面之间可能还包括普通语言中的连接词句，然而映射语句并没有详细说明映射本身，因为它并没有告诉我们实际的分配是什么。在实证科学中，从研究领域到反应范围的特定分配由实证观测值来确定。

在一个映射语句中，焦点集和意义集被放在箭头左边，组成观察的领域。从焦点集和意义集各任选一个元素组成的元素组合，均表达一个特定的问题。例如：

Mary爱谁？

Mary钦佩谁？

Susan对谁友好？

Janice对谁发怒？

以此类推，可以用语言表达出20（4×5）个此类问题。焦点集和意义集这两个集合就是成分集合，它们构成笛卡尔集合。这个笛卡尔集合的元素是二十对组合：

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