论文导读：本文给出了Leibniz流形上Leibniz括号的一些性质，并讨论了微分同胚对Leibniz流形结构的保持，同时得到了微分同胚所诱导的Leibniz括号的若干性质。
关键词：Leibniz流形，Leibniz括号，微分同胚
0.引言
如所知，大多数经典的动力系统都可以用Poisson结构来描述.流形 上的Poisson结构是一个双线性映射 ，同时，这个括号还满足反称性、导性（即Leibniz法则）、和Jacobi恒等式.赋予Poisson结构的流形叫Poisson流形【1】，它是分析力学最好的数学框架，并在几何光学、热力学、量子论等物理分支中有重要应用.但最近人们注意到,如果将Poisson结构弱化，则能够较好地描述更为一般的动力系统.比如不要求括号积满足Jacobi恒等式，则得到近Poisson结构，如果再去掉反称性，就得到本文所讨论的Leibniz流形（又称为伪Poisson流形【2】）.它可为一些非完全约束的动力系统，耗散系统提供几何框架，此外，它还能作为广义Hamilton控制系统的状态空间，如电力系统、励磁控制系统等都可用Leibniz流形结构来处理【2】[3][4].所以Leibniz流形的理论需要人们给予更多的关注和研究，本文就是参与这一努力的尝试.
1.准备工作
定义1[5]：设是一个光滑流形，上的Leibniz括号 是一个双线性映射：
满足
 
其中 将 称为Leibniz流形。
定义2[6]：设是一个光滑流形，上的L-括号是一个Leibniz括号，且满足Leibniz恒等式
此时把叫做L-流形。论文参考。
易见，若L-流形上的L-括号满足反称性，则成为Poisson流形。
定义3【7】：光滑映射 如果是单一的，到上的，并且 也是光滑的，则称 是微分同胚,这时也称流形与 是微分同胚的。论文参考。
2.主要结果
Leibniz流形的结构取决于其上的Leibniz括号，在此我们先给出Leibniz括号的一些性质.
定理1：设为Leibniz流形，为上的Leibniz括号，如果 是上的常函数，则 ，有 .
证明：对有
所以 .同理可证 .
定理2：设为Leibniz流形，为上的Leibniz括号，如果 ，使得 是中某一点，则， .
证明： .
同理可证 .
定理3：设为一 维Leibniz流形，为上的Leibniz括号，如果，使得 是中某一点，则， .
证明：取以 为中心的局部坐标系，设坐标函数为 ，则函数在点处的泰勒展开为
因为 所以 ，又因为 为常数，所以
再注意
 ，
类似地，对 的泰勒展开的更高次项都有同样情形，所以 同理可证 .
现考察微分同胚对Leibniz结构所产生的作用[8].
定理4：设 是Leibniz流形, 是光滑流形， 是微分同胚，那么也是Leibniz流形.
证明：对 ，定义 ，显然， 满足双线性.下面验证满足Leibniz法则，对 有：
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