| 下面我们对上述通过猜测得到的等式(1)进行证明。
对于等式(1)的证明方法，学生可以马上想到能够利用前面解题过程中使用的“二次积分法”和“二重积分换元法”进行证明，此时可留有一点时间给学生自己用于推导证明。免费论文参考网。免费论文参考网。在此，这两种证明方法我们不再累述，我们给出等式(1)的另外一种证明方法——原函数法。
证明：左式= = 
=  +
讨论二重积分时总假定 在闭区域 上连续，故 的原函数存在。令 为的一个原函数，即
则 左式=  +
=  +
=  +
在 和 中，分别令 
则 左式= +
= =  = 右式#
原函数法将二重积分的计算与原函数的知识结合在一起，这有助于加强数学知识学习的融会贯通。当然，用此种方法证明等式(1)，需要学生具备扎实的数学基本功以及灵活运用所学知识的能力，虽有一定难度，但也能起到激发学生勇于挑战数学难关，提高学习数学兴趣的作用。
在证明完猜测得到的一般结论等式(1)后，教师可以继续引导学生发散思维，特别是针对数学基础较好的学生进行有针对性的启发，不难得到类似的更为一般性的结论：
 = =
上式的证明我们留给学生自己加以严格的证明，需要提醒学生注意证明方法的恰当选择。免费论文参考网。
通过对上述两道二重积分计算、证明题的解题过程中所使用的“二次积分法”、“二重积分换元法”和“原函数法”三种方法的比较，可以看出“二重积分换元法”要比其它两种方法更为简单。“二重积分换元法”虽然在方法掌握方面稍有难度以及不在教学大纲要求范围之列，但此法可以将一些复杂的不规则积分区域通过适当变换化为较简单规则的积分区域，从而大为简化二重积分计算。鉴于“二重积分换元法”的特定解题优势，可将其作为补充知识介绍给学生，特别是一些学有余力的学生，可以帮助他们扩大数学知识面，并有助于增强他们的自学能力和自信心。
上述二重积分计算、证明题解题过程中的一题多解，可以让学生认识到，不同解法体现了不同的数学思想方法，不同的方法繁简不同，各有优劣。通过不断探索尝试解题分析的过程，可以培养学生的创新能力及钻研精神，往往结果并不是最重要的，重要的是在学习过程中，培养了学生的学习兴趣以及热爱数学的心并从中感受到思考的快乐！
参考文献：
1.《高等数学》（第五版）同济大学应用数学系 高等教育出版社，2002.
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