注意到(7)式中矩阵 对角线上的元素 表示矩阵 的特征值 ，根据(5)式有 ，Mikota猜想(4)便得以证明。科技论文。
2.2  的对角化
下面通过对(7)式中矩阵施行相似变换，分析特征值问题(5)的特征向量 .令
 ，(10)
其中
 ，  ，  . (11)
由 确定。根据(10)可得下列重要关系：
 ，  . (12)
由此可以推出的精确解。其向前递归结果为：
 (13)
或用向后递归表示：
 (14)
将(7)式代入(10)，得 .把 改写为
 ， .(15)
其元素有下式给出：
 ，  .(16)
显然是矩阵的对应于特征值的特征向量，即 ，从而有
 . 此式表明，也是特征问题(5)式对应于特征值的特征向量。因此振动系统(3)的特征模态由 给出，其中 由(4)式确定，由(15)和(16)确定。
3 平方根矩阵
观察下列关系
 ，  (17)
其中 为交换阵
 .(18)
矩阵可表示为
 (19)
若定义
 ，(20)
则由(19)知： ，其平方根矩阵 的特征值是(10)的特征值的平方根，即
 ，(21)
而的特征向量与(15)式中的特征向量相同。
若将如上用于相似变换(9)直接应用于本身，则可以得到下三角矩阵：
 ,  (22)
此结果与John所得出的结果[3]完全一致。
4 结论
本文针对一个链式结构的质量弹簧振动系统，证明了一个关于其固有频率的猜想；同时采用了矩阵的相似变换，讨论了该振动系统(3)的特征模态。科技论文。证明结果验证了有关多个自由度振动器的频率调整的想法——将固有频率设置为基本频率的整数倍数。在实际中，如果一个驻波的频率是基本谐波的整数倍，其振动的波动方程对应的连续系统，也可以用系统(3)作有限维逼近。
参考文献
[1] J. Mikota, Z. Angew. Math. Mech. 81, S201–S202 (2001).
[2] K. Klotter, Technische Schwingungslehre, Vol. 2, 2ndEdition (Springer, Berlin, 1960).
[3] P. E. John,An eigenvalue conjecture of P. C. M¨uller (University of Wuppertal), privatecommunication, presented at Math/Chem/Comp Conference, Dubrovnik, 2006.
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