论文导读：通过逐项求导或逐项积分将给定的幂级数化为已知其和函数的级数形式，从而得到新级数的和函数。将得到的和函数做相反的分析运算，便得到所求幂级数的和函数。由以上可见：逐项可导与逐项可积是幂级数的和函数在其收敛区间上的两个重要的分析性质，在很多方面有很重要的应用。
关键词：幂级数，和函数，逐项可导，逐项可积
一. 基本知识点
定理: 设幂级数 在 内的和函数 ,则
1) 在内连续.若幂级数在 (或 )也收敛,则在处左连续(或在处右连续).
2) 在内每一点都是可导的,且有逐项求导公式:
求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径 .
3) 在内可以积分,且有逐项积分公式:
 ,
其中 是内任一点,积分后的幂级数与原级数有相同的收敛半径.
二、幂级数逐项可导与逐项求积分性质的应用
1.求幂级数的和函数
例1：求幂级数 的和函数.
解：易知级数的收敛域为 .
令 =，
由幂级数的逐项可导性得
 （ ＜1）
对上式两端积分得
例2：求幂级数 的和函数。
解：易知级数的收敛域为
设s(x)= ，逐项积分得： = = (-1<x<1)，
两端同时求导得：s(x)= (-1<x<1)。论文参考。
方法总结：
通过逐项求导或逐项积分将给定的幂级数化为已知其和函数的级数形式，从而得到新级数的和函数；将得到的和函数做相反的分析运算，便得到所求幂级数的和函数。
若幂级数的通项系数是自然数或相邻的自然数相乘的形式，可考虑用“先积分，再求导”的做法；若幂级数的通项系数是自然数的倒数或相邻的自然数乘积的倒数，可考虑用“先求导，再积分”的做法。
2.求数项级数的和
例3：求级数 的和.
解：因为：
 其中 ,
下面求
设  , 显然收敛域为 .
逐项积分得：
再次积分得： ， 
故  ,.
故 原式 .
方法总结：
根据给定的数项级数，可以通过构造适当的幂级数，先求得幂级数的和函数，进而得到数项级数的和。
3.求函数的幂级数展开式
例4：将 展开为麦克劳林级数.
解： ，
 ，
因为
所以 ，
方法总结：
对原函数求导或求积分，将原函数转化为已知展开式的函数，展开成幂级数后再对该幂级数逐项求积分或逐项求导，得到原函数的幂级数展开式。论文参考。
4.求积分
例5：求积分
解：将 展开成x的幂级数： ，
 ，
方法总结：
如果被积函数 的原函数 不是有限形式，而被积函数又可展开成幂级数，则它的原函数可表示为幂级数的和函数。
5.求极限
例6：求极限 ，其中 .
解：令
作幂级数 ，易知其收敛半径为1.设其和函数为 ，则
 .
所以
由以上可见：逐项可导与逐项可积是幂级数的和函数在其收敛区间上的两个重要的分析性质，在很多方面有很重要的应用。论文参考。在具体应用时，应根据具体的问题具体分析，决定逐项求导或逐项积分的顺序，解决问题。
参考文献：
[1].同济大学数学教研室.主编.高等数学[M].北京：高等教育出版社.2001
[2].同济大学基础数学研究室.高等数学解题方法与同步训练[M].上海：同济大学出版社.1998
[3].B.II.吉米多维奇.数学分析习题集[M].北京：人民教育出版社.1979
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