论文导读：摩里茨·科奈里斯·埃舍尔（M.C.Escher）。从事图形艺术的创作。他们的世界都是这幅作品中的全部空间。空间，埃舍尔的魔幻图形及其数学原理。
关键词：埃舍尔，图形，空间，数学原理
摩里茨·科奈里斯·埃舍尔（M.C.Escher），于1898年出生在荷兰，从事图形艺术的创作。硕士论文，空间。许多数学家热情赞美埃舍尔的作品, 他们认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化。1951年2月，马可·塞韦林在期刊《工作室》上发表了一篇关于埃舍尔作品的文章，他认为埃舍尔是一位有独创性的艺术家，埃舍尔能够以一种最震撼人心的方式描绘事物的数学特性。埃舍尔被众多的科学家视为知己。杨振宁的《基本粒子发现简史》就是以埃舍尔的《骑士》作为封面的。1954年的“国际数学协会”在阿姆斯特丹专门为他举办了个人画展，这是现代艺术史和数学史上是极为罕见的。
一、不可能存在的世界
埃舍尔曾坦率地声明，就数学而言，他完全是个门外汉。埃舍尔不喜欢抽象的概念，不过，只要抽象的概念和具体的现实能够有一点联系，他就能够迅速地将概念以某种具体的形式表现出来。50年代至60年代，埃舍尔开始利用人的视觉错误，利用灭点的相对性，让他的作品在三维空间里展现出来。他的作品骤看起来没有什么奇怪的地方，但其实当中蕴藏的幻觉事物是最引人入胜的。参观者常常把他们认识的真实世界与埃舍尔的虚构幻象相混淆，
而产生迷惑。画一组直线交与一点，这个点可以代表很多东西包括天顶天底和地平点等等，而究竟是什么点，则完全取决于观者看问题的角度。在埃舍尔1953年制作的石版画《相对性》中，在作品的外围有三个灭点，它们形成了一个边长为两米的等腰三角形，每个灭点都承担着三个不同的功能。在这幅作品中，三个完全不同的世界构成了一个统一的整体，作品中出现的十六个小人可以分成三组，每组小人都生活在自己的世界里。而对于每组小人来说，他们的世界都是这幅作品中的全部空间。其中一组的天花板可能是另一组的墙，一组认为是门的东西可能被另一组认为是地板上的洞。在这幅作品中，有三种不同的引力互成直角，在三个现存的平面中，总有一个可以作为三组人群中某一组的地面，每一组人都会受到某一个引力场的作用。硕士论文，空间。
英国人彭罗斯在《心理学杂志》上发表了不可能的“三杆”理论，就是把极为正常的三杆通过错误的连接而造成的一幅图画。三个直角都很正常，但它们以现实空间中根本不可能的方式连接起来，就形成了一个三角之和为270度的三角形。就在埃舍尔沉迷于不可能世界的建造时，他偶然接触到了彭罗斯的图形。硕士论文，空间。1961年的《瀑布》是埃舍尔依据彭罗斯的“三杆”原理绘制的奇异建筑式图画。他最初的创作意图是要画三座巨大的建筑群，但他突然想到瀑布能够以更引人入胜的方式来阐释“三杆”的荒诞性。如果我们从作品的左上角开始观察，会看到瀑布落下，转动水轮，然后水流顺着砖砌的水渠流走。如果我们跟着水流前行，就会发现它确实是再向下流，并逐渐远离我们。但是，最远最低的点突然变成了最近最高的点，于是瀑布再度跌落，转动水轮。《瀑布》的流水川流不息，完全违反地心吸力，所表达的图像是毫不合理的。他的《上和下》、《观景楼》等作品，都是以非常精巧考究的细节写实手法，生动地表达出各种荒谬的结果。
二、数学的奇妙设计
埃舍尔对晶体形态的规则性和必然性很着迷。他用各种材料来仿造它们，从不同的角度把它们画在纸上。他付出了很多努力才找到进行周期性分割的方法。希腊数学家早就知道只有五种可能的正多面体，并只能由以下形状构成：等边三角形，见于正四面体、正八面体和正二十面体；正方形，见于正六面体；正五边形，见于正十二面体。“所有的柏拉图立体都是外凸的，开普勒与普安索又发现了四种内凹的正多面体。如果我们将各种正多面体划在规则立体的范畴之内，那么还有26种可能的规则立体。我们还可以将各种彼此交叉的立体看做是新的规则立体，就可以得到一个几乎无穷尽的复合规则立体的系列。”[1]柏拉图立体只是所有可能多面体中的很少一部分，如此看来，人类的想象力比大自然要丰富多了。圆、椭圆、螺线、多面体和其他立体是我们在埃舍尔作品中看到的几何对象。在木刻《群星》中我们见到了这些名副其实的柏拉图立体。在《引力》中，一个有趣的星状十二面体可以看做是用几种不同的方法构建出来的。它的内部由一个正十二面体构成，每个面都是正五边形，然后在每一个五边形面上叠加一个规则的五面角锥体。硕士论文，空间。每一个五面角锥体里面都居住着一个长脖子的四条腿的怪物，每个怪物的帐篷状房子的墙壁都是其他五个怪物站立的地面。可以认为每个平面都兼为地面和墙壁，这些怪物都受到了一种指向星状多面体中心的吸引力。
早在1946年，埃舍尔在彩色木刻《骑士》中就已经采用了一些具有重要拓扑学价值的形象[2]，此后他又多次通过作品具体表达数学上有趣的默比乌斯带。默比乌斯带的制作非常简单，当一条丝带被扭曲后，将两端连在一起，则丝带的正面和反面是相间地连接起来的。如果我们将普通的圆环从中间剪开，会产生两个新的圆环。如果沿默比乌斯带的中线剪开，它不会分成两个环，它还是连在一起的。默比乌斯带只有一个面和一条边。从数学角度看，默比乌斯带具有惊人的特性，但这种曲面带的现象若由平面图画表达出来则毫不容易。在作品《默比乌斯带Ⅰ》中，每条蛇都咬着另一条蛇的尾巴，如果顺着蛇的方向看，它们似乎始终都是连在一起的，但如果将带子拉开一点，就会得到一个带有两个半周的带子。在作品《结》中的纽结是由一根四面体带子构成的。如果我们跟踪其中的一个面，就会发现其实我们在整个结上穿行了四次，跨过了四个面的边界，最后回到了出发的起点。《画廊》和《阳台》是拓扑变形的奇妙例子。硕士论文，空间。这些版画看来几乎好像是印刷在经过奇妙拓扑变形的橡皮薄板上的。
三、平面的无穷之旅
埃舍尔在周期性平面分割上的娴熟技巧，给他对无穷的探索以莫大的便利，促使他去发现在平面材料上表现无穷网络结构的全新技法。用数学的眼光来观察埃舍尔的工作，他的工作远远胜过传统的平面镶嵌图案。他给予他所镶嵌的对象以运动和生命，这从《变形》、《天和水》、《昼和夜》、《鱼和鳞》和《遭遇》等作品可以得到证明。除了变换平面以外，被镶嵌对象本身也经受变换。他对周期铺砌结构中的平移、旋转和反射的概念都掌握得很好。
埃舍尔使无穷大的概念活了起来。在《方极限》中，凸现出趋向边界的无穷序列的感觉。如果我们以中心的等腰直角三角形ABC为起点,在边BC上再画两个等腰直角三角形DBE与DCE，重复此步骤，直到无穷。设BC边长为1米，则DE边长为1/2米,再下者为1/4米，以此类推，我们就拥有了尺度逐渐减小而数目无穷的三角形。埃舍尔在每个三角形中填上了一只蜥蜴，使得整个结构充满生气。《方极限》是他为一本关于周期性平面分割的著作制作的插图。《圆极限Ⅲ》则可说是有界又无限的非欧几何的理想模型。硕士论文，空间。为了阐释双曲几何，法国数学家庞加莱采用了一个模型，将整个无穷平面表现在一个大而有限的圆周之内。从双曲几何的角度看，没有任何一点是在圆上或圆外的。埃舍尔在这个模型的基础上获得了自己的结构图。《圆极限Ⅲ》中有四种不同颜色的鱼。每一种鱼都头尾相接，沿着环形路线游个不停。越游近中间就变得越大。一串串鱼从无穷远的边缘以直角发射出来，又跌落到所来的地方，没有一条鱼能最终到达边缘，因为那之外是绝对的“无”。在《旋涡》中，整个画面只有两条螺线，在上下结构中同时出现，并向着同一个方向运动。这些螺线构成了彼此相向的两对鱼的脊椎骨。灰鱼诞生在上面的旋涡里，一边长大一边向外游。然后它们开始了向下面旋涡的旅程，经过不断的缩小，最终消失在圆心。而红鱼则从相反的方向，从下面的旋涡游到上面的旋涡中。螺线把人们的目光带上无尽的旅程，其目的是要表现从无穷小到无穷大的发展，然后再回到无穷小，这样一种类似于诞生、成长和死亡的过程。
数学是埃舍尔的艺术之魂，他在数学的匀称、精确、规则、循序等特性中发现了难以言喻的美，并结合他无与伦比的禀赋，创作出广受欢迎、带有数学意味的迷人作品。
参考文献：
[1](荷兰)布鲁诺·恩斯特著，田松译.魔镜[M].上海:上海科技教育出版社,2002：106.
[2]李凯歌.浅析埃舍尔艺术作品的数学之美[J] .黑龙江科技信息，2008年 33期:45.
[3](美)K.C.Cole著，丘宏义译. 数学与头脑相遇的地方[M].长春: 长春出版社,2002.
[4](美)霍尔.东西方图形艺术象征词典[Z].北京：中国青年出版社,2000.
[5]陈望衡.艺术设计美学[M].武汉：武汉大学出版社,2000.
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