为保持系数矩阵的对称性，引入函数 ，使
利用运动坐标系去掉涡流场控制方程中速度项，对每个单元取其形函数 为权函数，并采用余量加权法对上述涡流控制方程离散得：
 （11）
其中各元素的含义如下：
 ，
 ，
 ，其中Q，q分别为驱动线圈上的总节点数和总个数。
 多级同步感应线圈炮的等效电路模型如图3所示。其中每一个耦合电路代表线圈炮的一级。
可写出其电路方程为：
  （12）
其中， ＝ ， ＝ ， ＝
 ＝ ， ＝ 。发表论文，电磁力。
电磁场方程和连接的电路方程相接口的中间环节驱动线圈和电枢中的电流及感应电势。其中，电流是整个求解系统得独立状态变量，而感应电势则是矢量磁位的函数，是非独立状态变量。因而整个场路方程耦合求解的关键是感应电势Ｅ。有限元区的感应电势可通过与绕组所交链的磁通的变化来求得。若每一级中每匝线圈的有效长度为 ，驱动线圈的匝数为 ，且驱动线圈划分了M个单元，则由此可得每一级驱动线圈的感应电动势为：
 （13）
把式（13）代入式（12）并整理得：
 （14）
将式（11）和式（14）联立，便可得到运动坐标系下的多级线圈炮的瞬变电磁场与电路方程耦合研究暂态过程的空间数值离散模型为：
 （15）
上式为时域模型，必须进行时间离散。由于Crank-Nicolson法良好的精度和数值稳定性，本文采用该时间离散的方法对上式进行时间离散，离散并整理得：
 （16）
式（16）即为多级线圈炮瞬态耦合离散数学模型。并由此看出：本文所推得的耦合方法虽然增加了少数几个电流变量，但是方程系数的稀疏对称性的优点却得到了很好的保持；只要知道多级线圈炮的激励电压条件，便可将此瞬态方程的场矢量磁位A及瞬变电流i同时求解出来，提高了求解精度。
节点力法是根据能量原理，结合麦克斯韦应力张量提出的一种数学表述简单、精度较高，并且能够计算局部力的计算电磁力的方法。
采用Einstein惯例的形式，作用在物体上的力密度可表示为：
 （17）
若在电磁力的作用下，物体产生一个虚位移 ，则作用在物体上的功为：
 （18）
将虚位移用节点形状函数插值，有：
 （19）
则（19）可写为：
 （20）
那么，作用在第n个节点上的力为：
矩阵形式为：
 （21）
式中的积分是针对包含第n个节点的所有单元进行的，对物体上所有节点受到的力求和，即可求得作用在整个物体上的力。由此可见，节点力法既能计算局部力也能计算整体力。
2.2 磁场结构耦合方程
把（21）中求出的电磁力分量代入结构平衡方程得：
 （22）
式（22）即为电磁与弹性结构耦合方程。
根据几何方程和物理方程我们可以得到以位移为变量的普遍方程：
 （23）
其中， ，  ， 。
其求解边界条件为：
 （24）
各式中，S为边界曲面，l, m, n为边界点外法线的方向余弦。
3、电枢应力强度仿真分析
ANSYS软件所特有的能进行耦合场仿真功能以及其它一些特点使得其在有限元分析软件中具有领先地位。发表论文，电磁力。该软件能实现多场及多场耦合分析功能，利用该软件进行这些物理场之间相互影响的研究。例如：热—结构耦合，磁—结构耦合以及电—磁—流体—热耦合等。
电枢是整个线圈炮的核心部件，直接影响着线圈炮的使用寿命。因此下面对电枢强度进行研究。但是，对于整个电枢来说，并不是每个部分受到均匀力，由于感应电流的趋附效应，电枢中感应电流主要集中表面，并且主要集中在趋附深度，因此我们把电枢轴向分10份，如图4所示。因此，我们下面以单级线圈炮为例重点研究轴向第一片小电枢的强度。
 1、工作电压对电枢应力的影响
现仍以图4中的模型作为研究对象，研究初始工作电压分别为3kV、4kV、5kV、6kV时，同步感应线圈炮中电枢各片中所受应力情况。在此研究过程中，均令储能电容器的容量C=1200μH，电枢及载荷的总质量m=1.285kg，电枢的初始发射位置（电枢尾部在驱动线圈中心）和初始注入速度（电枢及弹丸的初始注入速度为零。）均保持不变，。驱动线圈结构参数内径为85mm，外径为125mm，长度为50mm，匝数为36，层数为3层。所用铜导线外径4mm,内径为2mm，电枢的长度为300mm，外径为82mm，内径为60mm，并且把电枢沿轴向分成10份，每一份等效成一个小电枢。应力仿真结果见图5和图6所示。
从图5和图6中可以看出：随着储能电容器初始工作电压的升高，电枢的径向应力和轴向应力也
相应的提高，并且轴向应力远远小于径向应力。对应电压值为3kV、4kV、5kV、6kV和7kV时，电枢最大径向应力为6.4634MPa，8.9366MPa，11.431MPa，13.942MPa和16.464MPa。驱动线圈最大轴向应力2.4215MPa，3.3748MPa，4.3374MPa，5.3063MPa和62803MPa。发表论文，电磁力。并且随着电压值升高，驱动线圈所受到脉冲应力时间越来越短，到达峰值时间越来越小。
2、储能电容器容量对电枢应力和温升的影响
对于某一给定的同步感应线圈炮而言，当储能电容器的工作电压一定时，储能电容器的容量也会对电枢应力产生影响。结合图4中的仿真模型，其余参数不变，现研究储能电容器的容量分别为1000μF、1200μF、1400μF、1600μF和2000μF时，该同步感应线圈炮中电枢应力仿真结果图7和图8。
从图7和图8中可以看出，随着电容值增加，驱动线圈所受轴向和径向应力都缓慢的增加。并且驱动线圈达到最大轴向和径向峰值应力作用时刻随储能电容器容量的增大而后移。对应于储能电容器的容量分别为1000μF、1200μF、1400μF、1600μF、和2000μF时，驱动线圈的轴向峰值分别约为3.9933MPa，4.08MPa，4.143MPa，4.1901MPa，4.2561MPa。驱动线圈轴向峰值分别为10.883MPa，11.064MPa，11.195MPa，11.293MPa，11.431MPa。而且电容值对驱动线圈所受应力作用时间基本没有影响。
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