那么， 的分布函数属于 ；
假设当 时成立，即 的分布函数属于。那么，当 时，假设的分布函数 属于， 则
同理可得
 ，
命题得证。
引理3  和 是相互独立的非负的随机变量，分布函数分别为 。有界但在0点是非退化的。 ，则 的分布函数仍然属于。
有关证明可参阅参考文献[1]。
3.定理及证明
定理1 令 ，则(1.1)定义的盈余模型的破产概率
 .（3.1）
证明：考虑当前的盈余额 ，则由(1.1)有
 (3.2)
则所求的破产概率转化为
 (3.3)
根据(3.2)，有
(3.3)可写为
 （3.4）
根据负相协的性质可知： 是负相协的随机变量序列。
如果我们证明了：
 （3.5）
对于任意的 ，有
根据引理3可知 ，据(2.1)式和 的任意性有：
 （3.6）
根据（3.4）、（3.5）、（3.6）可知：要证明定理1成立，只需证明（3.5）成立即可，
下面我们证明（3.5）成立。
令
 ，
根据引理1和引理2可知： 的分布函数 仍然在重尾分布族中，
根据参考文献[1]，对于变量 存在有限的正整数 和 ，当 ，
 （3.7）
对于任意的 ，有
  （3.8）
根据（3.7）和（3.8），由 的任意性，我们显然可得
由
 ，  ，
有
（3.5）式成立
命题得证。
4.结论
在巨额索赔服从重尾分布 族的条件下，我们得到了风险模型的破产概率：
.
由得到的破产概率计算公式，可知：承保巨灾风险和小额保单的保险公司，小额保单对保险公司债务风险的影响较小，它承保的巨灾风险是决定保险公司出现债务危机的关键因素。
参考文献
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