| 论文导读：本文将希腊哲学家芝诺的观点与龟兔赛跑的故事相联系，并用代数、求极限及常识方法予以驳斥。
关键词：龟兔赛跑
龟兔赛跑的故事尽人皆知，讲的是和乌龟同时起跑的兔子因轻敌睡了一觉而输了比赛。据说，后来兔子感到委屈，就请哲学家芝诺帮忙劝乌龟再比赛一次，作为交换条件，自己宁愿等乌龟跑到全程中点时才开始跑。乌龟欣然同意，但芝诺却说不用比了，并有理有据地证明，兔子永远追不上乌龟，乌龟肯定还会赢。兔子听了，垂头丧气而去，从此再也不找乌龟比赛了。经后人考证，芝诺是这样证明的：当兔子跑到全程中点时，乌龟已跑到前面的A点，当兔子跑到A点时，乌龟又已跑到前面的B点，当兔子跑到B点时，乌龟早已跑到前面的C点，如此以至无穷，因此兔子永远追不上乌龟。我们把兔子追赶乌龟的这种方法叫做芝诺①追赶法。
乍一想，芝诺的证明很正确，兔子输的心服口服也无可厚非。但凭经验我们却知道这个证明肯定是错的：兔子的速度是乌龟的不止三倍五倍，怎么会连一半的距离也追不上！可芝诺的证明又错在哪里呢？怎样证明兔子肯定能追上乌龟呢？下面对这个问题作简要分析。
1、用代数的方法证明
2、用求极限的方法证明
3、由芝诺追赶法引起的思考
芝诺是历史上第一个考虑到时空可无限分割的人，虽然所谓芝诺追赶法是虚拟的，但可由此得到以下启示。
1）实际步骤和虚拟步骤是有区别的。实际步骤是在现实中独立存在的事物进程的一部分。例如在龟兔赛跑中兔子必须一步一步地跑，不能省掉任何一步，这里每一步就可以看作一个实际步骤，不过是重复的步骤。再如将一个篮子里的苹果拾到另一个篮子里，每拿一个苹果就可以看作一个实际步骤。虚拟步骤则是为了解决问题而设想的实际上并不独立存在的步骤，在很多情况下虚拟步骤与实际步骤并没有截然的界限。例如历史上著名的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”设想中的“日取其半”，在最初的几天是可行的，属于实际步骤，但在很多天以后就不可行了。一般情况下没有人能够将一毫米的“棰”（假设它还能叫做棰的话）“日取其半”，再小的“棰”根本就不可能存在，更不用说“日取其半”了。论文检测。因此，不能实际操作的“日取其半”就属于虚拟步骤。在龟兔赛跑中兔子分别跑到全程中点、A点、B点、C点等前几个步骤，都是可以实际存在的，属于实际步骤，但是当后来每个步骤跑不了一步，甚至每个步骤跑不了十分之一步或更少的时候，这之后的步骤就不是独立存在的，就属于虚拟步骤了。对像这样的虚拟步骤的思考必然会坠入到“无限”的陷阱中而得出错误的结论。
2）芝诺混淆了步骤无限和时间无限的概念。芝诺追赶法中兔子追赶乌龟的步骤是无限的，可以坦言，兔子经过无限这样的步骤也不能追上乌龟，但不能说兔子经过无限的时间也不能追上乌龟，不能因此就得出兔子永远追不上乌龟的结论。无限的步骤不一定要用无限的时间。芝诺就是因为在这一点上没有分清楚，把无限的步骤和无限的时间当作了一回事而妄下了兔子永远追不上乌龟的论断。这种把两个概念混淆的错误在人们思考问题尤其是数学问题时是常见的。
3）没有将常识或经验方法与推理方法相结合。推理方法容易钻死胡同，常识或经验可以为推理指出一个方向。当然，常识或经验用在推理上不一定总是对的，但经验的事实却可以作为可靠的参考。根据经验人们都知道，在本文中兔子是肯定可以追上乌龟的，如果芝诺稍微考虑一下曾经验过的事实，就不至于得出错误的结论。在一些数学计算中，常识或经验还可以作为检验答案正确与否的标准。既可以直接检验，也可以用反推的方法检验。论文检测。例如，计算得出粮食亩产数千斤甚至上万斤，根据经验可以直接判断该结果肯定是错的。再如笔者曾看到一则报道，东营市现在平均每天销售汽车达六千辆，乍一看这个数据似乎没有问题，但是经过反推计算出的全年销售量竟然比全市的总人口多出将近一倍，根据常识就可以断定这是绝对不可能的，这个数据肯定是错的。可见，将常识或经验方法与推理方法相结合，有助于提高数学计算结果的准确性和可靠性。论文检测。
注：①芝诺：位移事务在到达目的地之前必须先抵达一半处；“阿克琉斯”论证：一个跑的最快的人永远追不上一个跑得最慢的人，因为追赶的人必须首先跑到被追的人跑的出发点，因此走得慢的人必然永远领先。
|
