生长曲线参数估计的伴随同化方法(图文)

论文导读：上述生长曲线与统计结果只有1860、1940年的相对误差大于2%而小于5%，其余年份的相对误差均小于2%。本文利用伴随同化方法对这一问题进行了初步研究。因此，伴随同化方法用于生长曲线的参数估计完全可行。
关键词：生长曲线，参数估计，伴随同化
 

0 引言

生长曲线(Logistic curve)也称S曲线，它是描述单一种群空间约束的生长过程曲线。其特点是开始生长较为缓慢，以后随着某些条件的变化，在某一段时间内增长速度较快，当达到某一界限之后，生长速度又趋于缓慢，以至最后停止增长，生长曲线的特征决定了其在生命科学领域中的广泛应用。论文大全。目前，生长曲线在其他领域中也得到广泛应用。例如向前忠将生长曲线模型用于高速公路诱增交通量预测，王吉权等将生长曲线用于电力负荷预测中。生长曲线的一般形式为

(1)

这里是某物种数量，、、是三个参数，应用时通常需要识别。参数识别是生长曲线

模型应用的前提，目前已有一些研究结果。如果令，，，则是如下方程的解

(2)

通常已知，于是只需要识别参数和，方程式（2）即为著名的Logistic模型。这里利用伴随同化方法对生长曲线的参数进行识别，同时将该方法用于文献[1]和美国1790-1950年人口数据。

1伴随同化参数识别方法

令为的观测，定义代价函数

　 　(3)

这里为权重，为观测算子，为研究区间。代价函数是度量观测与模型解之间的距离函数，它反映在区间上与的拟合程度。于是模型参数识别问题就转换为以(2)为约束，以(3)目标函数的约束的极小值问题

(4)

构造拉格朗日函数

(5)

这里为的伴随变量。依据取极值的条件，容易得到满足

　 (6)

方程(6)称为方程(2)的伴随方程，需要逆向求解。依据(5)可计算代价函数关于模型参数的梯度

(7)

为方便，记

,(8)

于是可对模型参数进行校正

(9)

从而达到识别模型参数的目的。通常采用差分方法数值求解(2)和(6)，这里采用精度较高的４阶Rounge-Kutta方法，但要注意(6)要逆向求解。归纳起来利用伴随同化方法识别生长曲线参数的步骤如下：

1)　正向积分方程　(2)；

2)　逆向积分方程　(6)；

3)　计算梯度和代价函数；

4)　调整参数，为步长；

5)　如果则迭代终止(为事先给定的迭代终止参数)，否则转(1)。

2 数值实验

2.1 基于文献[1-2]数据的数值实验

由文献[1-2]可知，某种大豆的叶面指数y(t)与生育日数t的关系如表1的第一行和第2行。第3行为本文的结果，第4行为文献[2]的结果。通过表1可看出，本文方法可以较好地识别出参数值，本文得到生长曲线

(10)

表1 数值实验结果

2.2 基于1790-1950年美国人口数据的数值实验

令初始年份(1790年)对应的时间，1800年对应的时间为，依次类推得到各年份所对应的时间。这里人口上限的估计结果为195，净增长率估计结果为0.316；美国人口（1790-1950）年增长曲线为

　 (11)

上述生长曲线与统计结果只有1860、1940年的相对误差大于2%而小于5%，其余年份的相对误差均小于2%。

3 结论

生长曲线在生命科学和其他领域有着广泛应用，但是应用的前提是识别曲线中的三个参数。本文将生长曲线转换为Logistic 模型的解，待估计的参数为两个。本文利用伴随同化方法对这一问题进行了初步研究。这种参数识别的机理是以模型方程为约束，以观测值与数值解的误差的平方和为目标函数的约束极小值问题。论文大全。数值实验结果表明在一定的范围内，该方法均能较准确识别出模型参数，并且具有一定的抗噪性。最后将该方法用于某种大豆的叶面指数（数据取自文献[1-2]）和美国1790-1950年人口统计数据，得到了精度较高的结果。论文大全。因此，伴随同化方法用于生长曲线的参数估计完全可行。

参 考文 献
[1] 王福林．一种生长曲线的参数估计方法．生物数学学报，1997；12(5) ：398—402．
[2]王福林，王吉权．生长曲线参数估计的一种新方法一优化回归组合法．生物数学学报2007；22(3)：533—538．
[3]向前忠．生长曲线模型在高速公路诱增交通量预测中的应用]．公路交通技术，2007；2，161—163．
[4]王吉权，赵玉林．生长曲线在电力负荷预测中的应用[J]．电网技术，2004；28(22)：35—38．