(5)
此处： 
输出的Av 平均值可表示如下式：
 (6)
将式(5)代入式(6)并且积分，则可得到下式：
 (7)
因此，正弦波Dither 的等效增益值可表示如下：
 (8)
以相似的推导方式可求得三角波Dither 的等效增益如下：
 (9)
而使用方波Dither 时，则可计算AV 如下：
 (10)
因此，方波Dither 的等效增益值可表示如下：
 (11)
由以上推导可知，方形波Dither 是最适合于消除液压伺服控制系统的启动量，主要系由于其等效增益Gb 为常数的故。
具有Dither 信号的非线性回授系统，可如图3所示。图3中的G1 与G2 为线性组件而r 与c是此系统的输出与输入信号。假如方形波的Dither 信号使用于图3系统中，则启动量的输出／入特性可利用傅立叶函数分析求得如下式：
 (12)
? (13)
图3 具Dither信号的一般非线性回授系统
方程式(12)是所对应的非线性组件输入信号(方波dither)的傅立叶展开式，而方程式(13) 系非线性组件的输出信号(方波dither 通过启动量后剩余部份)的傅立叶展开式，假如式(13)中的Dither 振幅B1 等于启动量值a，则Dither 输出部份非线性可完全消除。实际上，液压伺服控制系统的启动量值是一种时变的死区非线性函数，即a是时间的函数。
当振幅B1不等于启动量值a时，液压伺服控制系统的低通滤波器特性G2可被利用来滤除启动量的输出。因此，Dither 的振幅与频率可由下式所决定，忽略其中低频部份，即式(12)中的Kb=0。
 (14)
而方程式(14)系方波dither通过启动量后剩余部份，再经执行机构(G2)衰减后的量，即最后真正的输出值。此处G2 是液压执行机构的增益值而C 是输出信号值。因此，Dither的振幅必须选择接近启动量值，而最理想值是启动量最大值的一半。Dither的频率必需选择使输出值C 接近零时的最低频率。
三、 液压执行机构的数学模式液压伺服控制系统的主要功能方块图如图4所示。伺服放大器是由线性放大器与补偿器所组成。补偿器主要用以补偿误差信号与调整伺服阀的开度。本文的Dither 信号是额外加在伺服放大器的输出信号上，用以消除液压伺服控制系统的启动量问题。
伺服阀的传递函数可由二阶传递函数代表其动态特性。其典型型式如下：
 (15)
此处ςv是伺服阀的阻尼比而ωv是伺服阀的自然频率。本文所提到的液压执行机构用以控制气动面的偏转角度。
图4 液压伺服控制系统的功能方块图
在较小的操作区域中，执行机构与尾翼的结构可视为刚体。因此，执行机构的传递函数可表示如下：
 (16)
此处ςa 是执行机构的阻尼比而ωa 是执行机构的液压共振频率。由以上的推导知，图3的线性组件G2 可计算如下：
 (17)
四、 模拟结果与实验验证液压伺服执行机构，其各组件参数如下：
最大启动量域值：
伺服阀的阻尼比：
伺服阀的自然频率：
执行机构阻尼比：
执行机构液压共振频率：
因此，所需要Dither 的最小频率与执行机构的输出信号可由式(12)至式(17)求得，分析计算结果如表一所示。
表1 Dither 的最小频率与执行机构的输出值
| 启动量 |
Dither |
制动器输出值 |
| 波 形 |
振 幅 |
频 率 |
振 幅 |
相 角 |
| 0.2° |
方波 |
0.1° |
285Hz |
0.00032 |
-44.58° |
| 方波 |
0.05° |
350Hz |
0.00042 |
-59.48° |
由表1知，对消除此系统的启动量，以285 HZ 的频率为佳。此结果显示液压伺服控制系统的启动量问题，使用适当的Dither 信号可有效的消除的。由分析结果得知，方形波Dither 波形是最适合应用于消除启动量问题，因其等效增益值为一常数。由分析结果得知，信号稳定法可适当预测所需的Dither 信号。论文参考。
频率响应设计方法是由奈奎士(Nyquist)及波特(Bode)两人研究的结果，其主要的思想是系统处于稳态时，给系统输入一个正弦波，系统会产生相同频率的正弦波输出，但是输出响应信号的振幅与输入响应信号会不相同，这些不同值是频率的函数。本文的最主要目的是在使用Matlab/Simulink 仿真软件的环境下，利用此方法分析非线性系统的频率响应，并产生相对应的增益值，使得无法使用频率分析的非线性系统，在Matlab/Simulink 软件辅助下，得到所需要的频率响应值。借助此方法可探讨系统在未加入和加入启动量后，此非线性系统频率响应的差异性。
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