论文导读：对短信网络的研究和建模。短信网络是一种无标度网络（即Scale-free网络）。但是它只能生成度分布指数为3的网络。图5平均路径长度相对于节点数目的变化。平均路径长度，短信网络及其几种模型的比较。
关键词：短信网络，Scale-free网络，度分布，平均路径长度
1、引言
随着手机的普遍使用，短信日渐成为人们日常生活不可缺少的一种沟通方式。据工业和信息化部统计，2008年我国手机短信发送量达6996.7亿条。2009年，中国移动日均短信发送量为18亿条，节假日的短信日发送量为90至100亿条。
大量的短信在大量的手机之间进行传播和转发，就形成了一个复杂网络。而复杂网络就是具有复杂拓扑结构和动力学行为的大规模网络，它是由大量的节点通过连边的相互连接而构成的图【1】。实际上，短信网络就是一种高聚集度、短平均路径，即具有小世界特性的复杂网络。
对短信网络的研究和建模，对于认识移动通信网络的拓扑结构和演化行为，以及手机病毒的防治都具有非常重要的意义。
2、短信网络及其网络参数
短信网络是指短信通过手机传播和转发而形成的一种复杂的网络，它可以用数学模型来描述。众多实证结果表明，短信网络是一种无标度网络（即Scale-free网络）【2】P27【3】【4】，该网络的节点就是手机，如果两个手机终端之间有直接的短信联系，则它们对应的两个节点之间就有连边。短信网络的空间结构如图1所示。实际上，短信网络反映的是社会关系，它是社会关系网络的一种。
图1 短信网络结构示意图
短信网络作为一种复杂网络，可以用复杂网络的网络参数来度量。这些网络参数包括：节点的度和度分布、节点的距离和平均最短路径长度、聚集系数等。
节点的度，通常定义为与该节点相连接的其他节点的度【5】P11，即该节点具有的连接边的数目。网络中所有节点的度的平均值称为网络的平均度。把具有相同度k的节点的个数分别统计起来, 就可以得到度的分布P(k)。论文检测，平均路径长度。在短信网络中，节点度就是指与某台手机发生直接短信联系的手机数目。网络的结构性质不同，则其节点度分布也不同。
节点的距离，一般定义为网络中两个节点之间的最短连边的条数。网络的平均最短路径长度，通常定义为该网络上所有节点的距离的平均值。
聚集系数，也可以叫做聚类系数或群集系数等，它是指某个节点的直接连接点之间也互相连接的稠密程度, 聚集系数C是范围为0≤C≤1之间的一个实数。比如，与某台手机A有直接短信联系的其他手机有N台，那么如果这N台手机之间都有直接的短信联系，则手机A的聚集系数为1；反之，如果这N台手机之间都不存在直接的短信联系，则手机A的聚集系数为0。聚集系数越大，说明手机终端之间的通信紧密程度越大。
3、几种短信网络模型的比较
对短信网络的研究，对于认识移动通信网络的拓扑结构和演化行为，以及手机病毒的防治都具有非常重要的意义。目前，已有少数研究者对短信网络的拓扑结构及演化规律进行了研究。
（1）王静、孔令江模型
王静、孔令江等建立了BA网络上的短信传播模型。模型假定节点有四种状态，并规定了短信的转发步骤和接受步骤，目的是要观察某条短信的转发次数，转发了短信的用户数，以及收到短信但未转发的用户数，从而了解短信的传播规律。
结果表明，新节点带入的边数及短信转发概率都对短信传播具有一定的影响。新节点带入的边数表示新节点与更多节点之间的信息联系, 而转发概率的作用是加强节点与节点之间的信息联系, 他们都能促进信息在用户之间的传播。新节点带入的边数和短信转发概率越大，短信的转发量越大，如图2、图3。【6】
 
图2 图3
图2表示的是新节点带入的不同边数下终态短信转发量随初始接受密度的变化。图3表示的是不同转发概率下终态短信转发量随初始接受密度的变化。图2和图3中，横坐标均为S(t)×10^4，纵坐标均为初始接受密度ρ1(0),其中S(t)为终态短信转发量，ρ1(0)为系统初始时刻接收到该短信的节点密度即初始接受密度，K为近邻数，pt为转发概率。论文检测，平均路径长度。论文检测，平均路径长度。
BA网络上的短信传播模型对短信网络的研究提供了有意义的参考，但是又具有一定的局限性。我们知道， BA网络虽然是一种典型的Scale-free网络，但是它只能生成度分布指数为3的网络，而在实证研究中发现，短信网络的度分布指数在2～3之间【7】。
（2）马宝军、肖井华模型
马宝军、肖井华等利用中国联通某一客户群时长九天的短信发送数据，重现了短信网络的生长过程。研究发现，短信网络的度分布具有幂律分布特征，从而确定短信网络是一种Scale-free网络【2】P27。作者通过对BA模型以及短信网络的两种演化方式——按点生长和按边生长分别进行分析，如图4，结果发现真实的短信网络是以边为生长单位的，而不是像BA模型只有点的生长才有边的生长，没有纯粹的边的生长【2】P35。数值模拟结果表明，短信网络的平均度是越来越大的，原因是在真实的短信网络中，即使没有新节点的产生，网络中也可以生成新边。论文检测，平均路径长度。另外，短信网络的平均路径长度在演化初期出现了一个尖峰，如图5。这反映了短信网络中存在一种BA网络中不存在的现象：即在网络演化初期，存在一些独立的小集团，它们是独立演化的，随着演化的进行（即节点和边的加入），这些独立的小集团之间开始连通合并，这就是网络演化早期平均路径长度突然增大的原因；另一方面，随着边的增长和这些孤立的小集团的连通合并，平均路径长度有所减小。正是这两方面的因素导致短信网络的平均路径长度在演化早期出现了尖峰。在这些小集团完全连通合并后，平均路径开始呈对数增长。【2】P38【3】
图4 平均度相对于节点数目的变化。因为节点数随着时间增长，所以平均度相对于节点数目的变化可看作平均度相对于时间的变化。(a) BA模型；(b)基于点生长的短信网络；(c)基于边生长的短信网络。
图5 平均路径长度相对于节点数目的变化。因为节点数随着时间增长，所以平均路径长度相对于节点数目的变化可看作平均路径长度相对于时间的变化。(a) BA模型；(b)基于点生长的短信网络；(c)基于边生长的短信网络。论文检测，平均路径长度。
马宝军的研究成果为我们研究短信网络提供了一种新思路，具有重要的参考意义。论文检测，平均路径长度。但是我们知道，在中国大陆中国移动、中国联通和中国电信三个运营商是共存的，因此只取中国联通某一客户群的短信数据不足以很好地反映人们真实的短信联系。
（3）吴晔、肖井华模型
吴晔、肖井华等根据人际交往关系的特点，以一个集团内用户互发短信的数据记录为研究对象，重现了短信网络的生长过程，提出一种局部优先连接模型。其中，新加入的节点与已存在的节点之间的连接规则为：新加入的节点首先随机地连上一个节点A，然后以概率P1与A的邻居B相连，接着以更小的概率P2与B的邻居C相连。【8】
该模型很好地解决了用BA模型模拟短信网络的四个不足：①BA模型的度分布为严格的幂律分布，短信网络在节点度较大时服从幂律分布，但其总体度分布不是严格的幂律分布；②BA模型中越早加入网络的节点，其拥有的节点度越大，这与真实的短信网络是不相符的；③BA模型的平均度基本不变，而实际短信网络的度分布应该是增长的；④BA模型只能生成幂律指数为3的Scale-free网络，而真实数据模拟表明，短信网络的幂律指数在2～3之间。
 
图6 局部优先连接模型的平均度随时间的变化图7局部优先连接模型的度分布
该局部优先连接模型弥补了一些现有网络模型的不足，较好地符合了短信网络，如图6、 图7。但是该模型也存在一些不足，如：①该模型只考虑了节点的局部生长，而忽略了宏观生长，即假设新的手机用户只与局域内的手机用户发生短信联系，而在实际的短信网络中，新的手机用户是很有可能与局域之外的其他用户发生短信联系的；②该模型所采用的研究对象也只是一家运营商客户群的短信发送数据。
（4）孙钦东、孙亚红模型
孙钦东、孙亚红等建立的动态短信通信复杂网络模型，不但考虑了新节点和新连边的加入，也考虑了旧节点和旧连边的退出，不但考虑了外部边的动态演化，也考虑了内部边的动态演化，更加真实地刻画了短信网络有增有减的动态演化特点【4】。
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