论文导读：目前国内的塑料门窗生产企业大多数采用单一下料法，由此产生的残料比例大。文中在分析定长条优化下料数学模型的基础上，利用线形规划单纯形优化的知识，提出了可编程实现的求解算法。实践表明，采用优化下料可明显降低原材料的消耗，有利于提高经济效益，并减少废料对环境的污染。
关键词：塑型门窗异型材，下料问题，线性规划，单纯形优化
我国塑料门窗生产以进入高速发展期。然而，塑料门窗生产企业中普遍存在的有原材料浪费问题不容忽视，这也大大影响了企业的市场竞争能力。对于塑料门窗组装厂来说，从型材厂购来的是一定规格的胚料（例如：6米），组装厂需要根据所需组装的门窗类型对这些胚料切割下料，然后才能组装成门窗。 目前，多数企业在切割下料时，仍然靠经验，因而，型材的利用率不高。自动排料软件采用微机优化排料，改变了传统的人工排料历史，不仅提高了企业的生产效率，更重要的是能使排料得到最优化的处理，使生产中的废料最少，最大限度的利用原料，大大节约了成本。
1问题的提出：
型材厂生产的型材长度为Lmm,门窗厂要根据自己需用的要求在这批定长型材中切割出M种长度分别为l1,l2,l3……lm数量分别为b1,b2,b3……bm的型材，下料的规格及数量如下表1所示：
表1 下料规格及数量
| 长度（mm） |
l1 |
l2 |
……………………
|
lm |
| 根数（根） |
b1 |
b2 |
……………………
|
bm |
应采用什么样的下料方案，使得在下料过程中既满足需要，又使下料后的余料、边料总长最小，从而使型材利用率最大，减少损失，降低成本，提高经济效益。
2 型材的下料方式：
(1) 单一零件下料法
在给定的条型材上切割多个相同规格的毛坯的方法称为单一零件下料法。材料定额的计算表明，仅当原材料长度与毛坯尺寸整数倍关系或者长度得当时，材料的利用率才较为满意，一般在50%-100%之间波动。因此，从提高利用率的角度看单一下料的方法是不够科学的。
(2) 多种零件下料法（混合下料）
在给定的条型材上同时切割出几种零件毛坯的方法称为混合下料法。
混合下料的方式的确定是决策下料方案的前提，设在同一根条形材L上切割M种零件毛坯l1~lm的个数分别为b1~b m ，则lI与bI 应满足下列关系式
L-min{l1,l2……lm}<∑lI*bI<=L
即用料小于等于原材料的长度，残料小于最短的零件毛坯的长度，据此下料方式，可以确定全部下料的方式（零件的长度需按从大到小的排序为l1>l2>……lm）。但是这样得到的切割方式的数目可能相当的大，零件尺寸愈小，这个数量就愈大，参加套裁的零件数愈多，这个数量也愈大。不采用逐级优化的方法，有时简直无法求解，所以我们还要继续寻找最佳方案的解。
3 优化下料方案选择：
多种零件下料方案（混合下料法）是决策下料的前提，其最优化问题属于一维线形规划问题，根据零件毛坯的配套需求量（设l1 ~ lm）零件毛坯的配套需求量为 b1~b m及各种下料方式零件毛坯切割数，建立线性规划问题的数学模型。
下料问题的数学模型可用数学语言描述如下：
目标函数（余料的最小值）
minZ=C1x1+C2x2+……Cnxn
满足约束条件
a11x1+ a12x2+a13 x3+ …… + a1jxj+ …… + a1n xn≥b1
…………………………………………………………………………………
ai1x1+ ai2x2+ai3 x3+ …… + aijxj+ …… + ain xn≥bi
.…………………………………………………………………………………
am1x1+ am2x2+am3 x3+ …… + amjxj+ …… + amn xn≥bm
aij 为第j种方案下第i种工件的根数；Cj为第j种方案的余料（j=1,2……n）；bi为各种长度形材的需求量；m为下料的种类数
其简缩形式为：
MinZ=  Cj xj
s.t  Ajxj≥B xj≥0
其中A=（aij）m×n为约束矩阵，aij为第j种方案下第i种工件的根数；C为目标函数系数行向量；向量X的各分量为各下料方式切割的原材料数量；Z为剩余料头的总数。
综上所述，如果知道了材料的各种下料方式，则下料问题就变成一个线性规划问题。我们可以采用单纯形法对这一问题进行计算，它是一种迭代法。在下料问题中应用时，它以单一下料方案作为初始方案，每迭代一次便得到一个改进的方案，直到得到最优方案为止。
工作流程图如下：
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