论文导读：图像修复（Inpainting）是数字图像处理研究的重要内容。梯度权值中参数a的选择。整体变分(TV)，自适应梯度权值的TV图像修复。
关键词：图像修复，整体变分(TV)，梯度权值
1.引言
图像修复（Inpainting）是数字图像处理研究的重要内容，目的是根据图像现有未被损害的信息，按照一定的规则填补，使修复后的图像接近或达到原图像的视觉效果。其在文物保护、多余物体剔除（如视频图像中删除部分人物、文字、小标题等）、修复网络传输中丢失或损坏的视频信息以及视频特技制作等方面有着重大的应用价值。
近年来出现了很多的图像修复方法。总体上来说，可以分为结构图像修复和纹理图像修复[1]。Bertalmio等人于2000年提出了一种基于高阶偏微分方程的算法[2-3]。Chan和Shen基于整体变分原理去噪模型进行修复，提出了TV(Total Variation)模型[4-5]。通过最小化一个基于总变分模的能量泛函来完成对破损区域的修复。对噪声图像抗噪能力较强，执行简单。硕士论文，整体变分(TV)。但该方法对参数的选取较敏感，梯度权值稳定。本文在改进TV算法的基础上，提出了在图像修复的迭代过程中，梯度权值随迭代次数自适应的改变。能够有效地改善修复结果的视觉效果，显著的提高运算速度，并使算法达到很好的稳健性。
2.TV图像修复算法原理
 TV修复模型是最小化一个基于总变分模的能量泛函[6]。修复模型如图1所示，D为待修复区域，E为待修复区域的外邻域，用TV模型写出图像在区域
E∪D的能量为：
 (1)
同时满足如下的噪声约束条件：
 (2) 图1 图像修复模型
其中，Area(E)为区域的面积，u0是像素值u被标准偏差为 的高斯白噪声污染前的值，r为一个输入输出都为非负数的实函数。可见，式(1)实际上是一个基于总变分的能量泛函，其作用是使修复区域及其边界尽可能的平滑。式(2)使得修复过程对噪声有良好的鲁棒性。
为了对边缘有良好的修复效果和平滑扩散项的影响。采用Lagrange乘子法将有约束极值问题转化为无极值问题。硕士论文，整体变分(TV)。考虑以下能量函数：
 （3）
 对于 ≠0时定义两个方向向量：单位法线向量 和单位切线向量T。如图2所示。根据Euler-Lagrange方程，使得E(u)最小的u应满足如下条件：
其中 ( )（4）
图2 切线和法线
根据图像平滑扩散原则[7]，对函数r(k) (式(4)中k=)进行选择：
1)在目标区域，很小，应该鼓励各向同性的平滑，这是应满足：
 （5）
2）在边缘区域，很大，为了保留边缘，应该沿着T方向扩散，而在N方向不扩散。此时应满足：
 （6）
而(6)式中的两个条件无法同时满足，必须寻找折衷，令它们以不同速度收敛于0，即
 (7)
选择函数r(k)使其同时满足条件(5)和(7)，可选择超平面(hyper surfaces)函数：
 其中a>0(8)
这时函数 和 都是凸函数，且都是渐减得。这样可以避免不稳定。故式(4)各向异性扩散的偏微分方程的传导系数为：
 （9）
当a=0时,式(4)就退化为原始的TV模型。本文中采用的r(k)函数能得到比原始的TV模型对图像平滑有更好的效果，使修复后的图像有很好的视觉效果。
3.改进TV模型的数值解法及参数a的选择
3.1改进TV模型的数值解法
原始TV模型的传导系数为 ，TV模型的方程[3]：
 其中： （10）
改进的TV模型的传导系数为 ，模型的方程式：
 其中：（11）
如图3所示，O为目标像素(i,j)。其邻域节点 =(A,B,C,D)，O的半邻域节点可表示为(a,b,c,d)。
 记： ，其散度可以近似为：
 (12)
图3 目标像素及邻域像素
式中h为步长，一般取1(本文取1)。这样只需对上式中的半像素点a,b,c,d的梯度值做进一步计算，以c点为例：
 （13）
 (14)
将式(12)、(13)、(14)代入式(11)，得：
 (15)
记：   ( ) (16)
上式参数a在引入超平面函数时是为了防止梯度为零时带来小的扰动，化简式(13)，有：
 （17）
采用Gauss-Jacobi迭代算法，则图像值u可以由下式求得：
 （18）
由于hop+hoo=1，矩阵的谱半径小于等于1，所以式(18)是稳定的。
在TV算法中D区域的初值为噪声，然后根据式（18）对D∪E区域的像素进行一定次数的迭代。当前后迭代图像变化小于一定得阈值时停止迭代,并得到最终的修复图像。
本文在修复过程中不考虑噪声。因此可取 =0，故修复模型就可简化为：
 （19）
3.2梯度权值中参数a的选择
在改进的TV模型时传导系数为，起初引进参数a主要是在离散数值实现时，为了避免散度项的分母为零（即梯度| =0）而带来的扰动。但是通过式(19)可知，参数a的选择在迭代的过程中有很大的影响，并且直接影响到修复的效果和速度。
当 时，传导系数可近似为1/a。硕士论文，整体变分(TV)。这样式(19)相当于各向同性的热扩散。尽管同性热扩散的速度较快，但这时梯度权值较小而稳定，并使得梯度的作用很小，不具有保持锐利边界的能力。硕士论文，整体变分(TV)。
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