 为单位向量，所以 ，在坐标轴上的投影 为：
 (9a)
 (9b)
 (9c)
将上述表达式带入式(5)中，便可以求的斜桩上某处的波浪力，然后采取分段数值积分的方法求出总的波浪力，具体积分方法与垂直桩柱相同。
2.3 ABAQUS UserSubroutine
对于本文所述的问题线性波，我们将模型按照梁单元建立整体模型，将波浪载荷以分布载荷的方式加载到单元上。由于在桩柱的高度范围内，波浪力的变化幅值较大，方向亦随时间而改变，普通有限元软件中的分布载荷无法满足计算要求。因此为了解决这个问题，我们引入ABAQUS User Subroutine，即用户子程序来计算波浪载荷。本文中所用到的user subroutine为DLOAD(distributed load)，用于描述分布载荷，还可用来描述海洋工程中的风，浪，流以及浮力等分布载荷。
这里特别要说明的是，ABAQUS在计算时，DLOAD子程序只向源程序返回分布载荷的数值大小，而不包括分布载荷的方向。对于DLOAD而言，载荷的方向始终正对着单元的外法线方向，如图三和图四所示。由于梁单元存在无穷多条法线，且倾斜桩柱模型的各个梁单元所受到的载荷方向亦各不相同，难以确定DLOAD的方向，这是计算的难点之一。本文采取的解决方法是，用Matlab编制程序，算出模型各个高度的波浪力的方向余弦，根据得到的方向余弦在INP中给每个梁单元独自规定一个法线方向。
图三梁单元的法线图四 壳单元的法线
3 计算结果分析
支撑结构的有限元分析，就是将实际结构简化离散成为有限元模型，根据实际情况划分单元和节点，运用编写的FORTRAN程序，将波浪载荷等效为分布载荷作用在各个单元上，用有限元软件计算各个节点的位移和应力，最终算出整体结构的应力状态和整体变形，本文分别用垂直和倾斜桩柱模型模拟工程实际中的支撑结构。
3.1 水动力系数的选择
Morison公式中的两个水动力系数，即拖曳力系数 和惯性力系数 的取值关系到最后计算结果的正确性。关于这两个系数的取值，国内外的学者对此作了大量的实验研究，在相关的论文和规范中给出了许多建议值供工程实际中参考。通常情况下，如果要得到比较精确的结果，必须要在实际水域中进行水动力实验，以确定系数取值。表一引自MIT开放课程《DesignPrinciples for Ocean Vehicles》第13章《SeakeepingAnalysis Natural Frequency/Natural Periods》。在本文中，依据《海港水文规范》确定和值。
表一 CD和CM的推荐值
|
Wave Theory
|
CD
|
CM
|
Comments
|
Reference
|
|
Linear Theory
|
1.0
|
0.95
|
Mean values for ocean wave
data on 13-24in cylinders
|
Wiegel, et al(1957)
|
|
1.0-1.4
|
2.0
|
Recommended design values based
on statistical analysis of published data
|
Agerschou and Edens(1965)
|
|
Stokes 3rd order
|
1.34
|
1.6
|
Mean values for oscillatory
flow for 2-3in.cylinders
|
Keulegan and Carpenter(1958)
|
|
Stokes 5rd order
|
0.8-1.0
|
2.0
|
Recommended values based on
statistical analysis of published data
|
Agerschou and Edens(1965)
|
3.2 试验工况
本文引用上海交通大学兰雅梅所做的孤立桩柱波浪载荷试验结果，与ABAQUS有限元计算结果进行对比。桩柱模型材料为有机玻璃，测试仪器为四分力天平，模型直径为0.05m，长度为1.1m，试验水池水深为0.6m。中实验测试了不同斜率和不同波向夹角的多种工况，本文仅引述其直立桩柱计算结果。其实验工况如表二所示。
表二 单桩规则波实验工况表
|
波要素
|
|
No
|
H(m)
|
T(s)
|
No
|
H(m)
|
T(s)
|
|
1
|
0.08
|
1.2
|
8
|
0.12
|
1.7
|
|
2
|
0.08
|
1.5
|
9
|
0.15
|
1.2
|
|
3
|
0.08
|
1.7
|
10
|
0.15
|
1.5
|
|
4
|
0.08
|
1.0
|
11
|
0.15
|
1.7
|
|
5
|
0.12
|
1.2
|
12
|
0.2
|
1.7
|
|
6
|
0.12
|
1.35
|
13
|
0.23
|
1.7
|
|
7
|
0.12
|
1.5
|
|
|
|
3.3 垂直桩柱计算结果
在ABAQUS中由各节点的坐标生成有限元模型，整个支撑结构由梁单元构建，直立桩柱采用平面梁单元B21，底部节点坐标为( 0.0, -0.6 )，顶部节点坐标为( 0.0, 0.5 )，节点总数为111，单元总数为110。节点(0.0, -0.6 )至节点(0.0, 0.5)之间每0.01米设置一个单元，底部节点边界条件为完全固定。使用ABAQUS/STANDARD隐式求解器求解，步长为0.01s，总长为对应工况的周期。
表三给出了如表二所示的13种工况下，ABAQUS计算值，实验值和计算值的比较。
表三 规则波作用下垂直桩柱上波浪力计算值与实验值比较
|
工况
|
实验值
|
本文计算值
|
本文误差
|
计算值
|
误差
|
|
1
|
1.615
|
1.5215
|
5.79%
|
1.480
|
8.36%
|
|
2
|
1.327
|
1.3637
|
2.77%
|
1.329
|
0.15%
|
|
3
|
1.094
|
1.26229
|
15.38%
|
1.184
|
8.23%
|
|
4
|
2.447
|
2.50149
|
2.23%
|
2.345
|
4.17%
|
|
5
|
2.247
|
2.3388
|
4.09%
|
2.252
|
0.22%
|
|
6
|
2.188
|
2.2368
|
1.63%
|
2.138
|
2.29%
|
|
7
|
2.027
|
2.10724
|
3.96%
|
2.017
|
0.49%
|
|
8
|
1.858
|
1.9448
|
4.67%
|
1.893
|
0.27%
|
|
9
|
3.083
|
3.05563
|
0.89%
|
2.887
|
6.36%
|
|
10
|
2.837
|
2.77336
|
2.24%
|
2.634
|
7.16%
|
|
11
|
2.567
|
2.61732
|
1.96%
|
2.485
|
3.19%
|
|
12
|
4.66
|
4.11621
|
11.67%
|
4.631
|
0.62%
|
|
13
|
6.08
|
5.2961
|
12.89%
|
5.985
|
1.56%
|
3.4 倾斜桩柱计算结果
由于倾斜桩柱情况没有合适的文献数据可用于比较，在本文中线性波，仅以假设的参数和工况计算一组数据结构以证明计算方法的可行性。本文参照东海大桥风电场示范项目风电机组支撑结构，设计倾斜桩柱模型的参数如表四所示，计算海况如表五所示。
表四 倾斜桩柱模型参数
|
长度(m)
|
外径(m)
|
厚度(m)
|
倾斜角ζ
|
波向角ξ
|
|
19.8
|
1.7
|
0.1
|
45
|
30
|
表五 设计波浪要素
|
海平面高程(m)
|
泥面高程(m)
|
水深(m)
|
波高(m)
|
周期(s)
|
波长(m)
|
Cm
|
Cd
|
|
0
|
-12
|
12
|
2
|
10
|
99.667
|
2.0
|
1.0
|
倾斜桩柱采用空间梁单元B31，底部节点坐标为( 0.0, 0.0, -12.0)，顶部节点坐标为(12.124, 7.0, 2.0 )。由于每个单元都要独立计算每个时刻的法线方向，工作量较大，故设置单元数量较少，节点总数为14，单元总数为13。同样考虑到速度和加速度的变化梯度较大，将相应区域的单元加密。节点( 0.0, 0.0, -12.0)至节点( 9.526, 5.5, -1.0)之间每2米设置一个单元，节点( 9.526, 5.5, -1.0)至节点( 11.258, 6.5, 1.0)之间每0.4米设置一个单元。为了使DLOAD正确加载，在INP文件中设置了13个单元集(element set)，每个单元集对应一个单元，根据编制的Matlab程序的计算结果，每一步计算都要重新定义法线方向。使用ABAQUS/STANDARD隐式求解器求解，步长为1s，总长为20s。
  如图五所示，倾斜桩模型各单元的法线方向不在一个平面内，DLOAD在加载时，将为朝向不同的方向，模拟了在二维波中倾斜桩柱所受波浪力的实际情况。图六所示为t=2s时刻倾斜模型的应力云图。
图五 t = 2s 时倾斜模型各单元的法线图六 t = 2s 时倾斜模型的应力云图
  图七和图八为倾斜桩柱模型的总力图和总力矩图，其横坐标为时间t，纵坐标为作用于桩柱上的波浪力F和力矩M。
图七 倾斜桩柱模型的总力图图八倾斜桩柱模型的总力矩图
图九和图十为倾斜桩柱模型自由端的位移图和转角图，其横坐标为时间t，纵坐标为桩柱自由端的位移U和转角UR。
图九 倾斜桩柱模型自由端位移 图十 倾斜桩柱模型自由端转角
4 DLOAD应用于壳单元
有限元模型采用梁单元来计算桩柱所承受的波浪载荷，可以得到较好的结果，无论是与理论解还是实验值都能较好的吻合。但是梁单元也存在着一些局限性，一方面受到单元类型的限制，应用梁单元建立的模型，必须进行简化，省略实际模型中的很多细节部分。另一方面，对于变截面的桩柱结构，梁单元在模拟上存在一定困难免费论文网。
目前工程上所建立的有限元模型，包括船舶和海洋平台等，通常都是使用壳单元和实体单元来模拟真实结构物。壳单元的优点在于划分网格较为方便，可以最大程度的保留实际结构物的细节部分，在处理桩柱截面变化的问题上也简单易行。例如中第四章中建立的某大型风力发电机组的支撑结构，截面为变截面锥筒形，塔架筒壁采用壳单元模拟，塔段间的法兰盘采用实体单元模拟。使用梁单元来分析桩柱，我们可以忽略流场的变化，只考虑单位桩柱上承载的波浪力即可。如果用壳单元来构建模型，必须考虑作用于桩柱表面上波浪载荷的变化，因此在应用壳单元之前，本文首先要结合流体力学的知识对流场进行分析。
由流体力学可知，海上结构桩柱直立在水中，忽略流场在z方向的变化，流体均匀地向x正方向流动，我们可将这种情况归化为流体力学中的“圆柱绕流问题”。二维圆柱低速定常绕流的流型只与Re数有关。在Re较小时，流场中的惯性力与粘性力相比居次要地位，圆柱上下游的流线前后对称；随着Re的增大，在圆柱背面流线开始分离并出现漩涡；随着Re进一步增大，圆柱后缘上下两侧有涡周期性地轮流脱落，形成规则排列的涡阵线性波，这种涡阵称为卡门涡街。
工程实际中的海洋结构物通常都是出于湍流状态中，由前述可知，在桩柱表面上不存在稳定的压力分布。如果在分析桩柱结构波浪力时考虑湍流情况，则超出了本文所研究的范围。所以，不失一般地，本文假设在桩柱迎浪的半个圆周上，均匀分布压力P，桩柱在x方向的合力Fx为桩柱所受波浪力，桩柱在y方向Fy合力为0，如图十一所示。下面结合前文所述Morsion公式，推导压力P与合力Fx的关系。
图十一 波浪载荷作用于壳单元
 (10a)
 (10b)
根据式(10)，我们将用于梁单元的Fortran程序进行修改，将原值除以圆柱直径D，则可将此程序移植到壳单元上，亦满足合力的要求。为了验证该方法的正确性，本文以的模型为例，分别用梁单元和壳单元建立有限元模型，分别在两个模型上运用对应的DLOAD子程序，用ABAQUS进行有限元计算。计算工况为表二所示工况1，即波高为0.08m，周期为1.2s。有限元模型尺寸按中模型尺寸设置。壳单元模型如所示。在本文中以立柱底部固定端的支反力值为例，比较两种模型的计算结果。
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