| 图6 CPS4单元分别施加固定位移和均布载荷裂纹扩展图
图7 长宽比2：1的单边缺口拉伸试样应力强度因子
由图4可知， 为试样施加均布应力的解析解； 为试样施加固定位移的解析解。无论是采用平面应力单元和平面应变单元进行分析，和解析解吻合的都很好。说明了应用虚拟裂纹闭合法计算应力强度因子是可靠的。当在试样上施加均布应力时，试样的应力强度因子增加的速率要比施加固定位移时应力强度因子增加的速率大，而且裂纹扩展到末端时应力强度因子急剧增加，施加固定位移的应力强度因子在整个裂纹扩展过程中增加相对平稳。
图5试样的长宽比为1:1，厚度为20mm，所用的网格尺寸为10mm，采用平面应力单元和平面应变单元分别施加均布应力和固定位移两种边界载荷条件进行计算。无论是采用CPS4单元还是CPE4单元计算的结果都和解析解吻合的很好，而且两者的计算结果也吻合很好。CPS4单元分别施加固定位移和均布载荷裂纹扩展图如图6所示。图4中试样长宽比4：1，图7中试样的长宽比为2：1，图5中试样的长宽比为1：1，两者的计算结果都和解析解吻合的很好，说明了应用虚拟裂纹闭合法在计算长宽比不同的试样的应力强度因子时，都能得到较为精确的计算结果。
图8为将图7两边沿长度方向上延长至两圆心的间距为3500mm，延长[5]部分板的厚度为30mm，分别采用CPS4单元还是CPE4单元在圆心处使用销接触，并施加固定位移线状裂纹，并将计算得到的结果与解析解相比较。
图8 试样的整体外形
图9 有限元计算结果
由图9计算结果可见，试样计算结果与参考文献给出的静态应力强度因子值吻合的很好，并且两者介于两种解析解之间，这是由于在试样延长部分上施加固定位移，延长部分受力的作用，在试样中间部分既不是施加均布应力，也不是施加位移，而是介于两者之间。
3.3 热弹性问题的应力强度因子
无限大板内含有一半径R=10mm的圆孔[6]，在板的Y轴方向上有一裂纹，板受均匀热流。模型采用CPS4T单元。具体建模方式如图1。中心部分的单元沿径向方向铺设，建模方式如图10
 
整体有限元模型 局部放大图
图10 无限大板的有限元模型
模型的材料属性为：弹性模量 、线膨胀系数 。模型下端温度 ℃，上端温度 ℃。模型的长宽都为524.44mm。使用有限元计算该热弹性问题的应力强度因子。计算后的温度场和裂纹扩展后的局部放大图如图11所示。
 
模型的温度场分布裂纹扩展图
图11 温度场分布及裂纹扩展图
参考《应力强度因子手册》中受均匀热流的孔边裂纹的解析解
 式中 (16)
图12 温度延宽度方向线性变化
图13 F随a/R变化曲线
 为不受干扰时的温度梯度， 随 的变化见图13，此模型中 。
图12清晰的表明，温度场沿均匀热流方向线性变化，即温度梯度为常数。模型在常物性、无内热源的一维稳态导热条件下计算得到的应力强度因子如图14所示。将数值计算结果与参考解相比较，两者吻合的很好。最大相对误差为-3.88%。说明了用虚拟裂纹闭合法计算关于这种热弹性问题的应力强度因子是相对可靠的。
图14 有限元计算结果
4结论
本文说明了断裂单元在解决二维裂纹扩展中应用，验证了其准确性。采用这种单元计算应变能释放率时不需要使用奇异单元或折叠单元，不会出现收敛问题，也不需要复杂的后续处理，说明了采用这种断裂单元分析二维裂纹扩展问题是方便的、高效率的。随着有限元软件的发展，虚拟裂纹闭合法分析工程结构的断裂问题已成为了一个趋势。
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