| 证毕。
4.不完全信息时竞赛发起者与参与人的均衡策略
竞赛参与人具有完全信息的假定过于严格，更多的时候竞赛参与人对对手的类型并不能完全了解，而只是知道对手类型的分布。本部分假设竞赛参与人是同质的， 均服从 之间的均匀分布， 。同时假设 ，其中 ， ，以保证不完全信息情况下竞赛参与人的均衡研发投入皆大于零。
命题3不完全信息条件下，竞赛参与人的均衡策略（ ， ）由下式决定：
 （2）
证明：
根据对称性，有。证毕。
从 可以看出，参与人 的研发投入水平随 的增加而降低，即效率越低投入水平也越低。
命题4不完全信息条件下竞赛发起者的最优奖励 由下式决定： ， 为研发竞赛发起者的期望收益。
证明：竞赛参与人的期望研发投入为：
竞赛发起者的期望收益为：
由于 , 为 的凹函数，所以存在唯一的最优奖励使得 。证毕。
5．算例
例1：假设模型中 。在完全信息条件下， ， 。
图1表示当 ， 分别取0.2、0.4、0.6、0.8、1.0时竞赛参与人和 研发投入的均衡策略。从图中可以看出，参与人的效率越低研发投入则越少。
 
图1 取0.6时竞赛参与人的均衡策略图2完全信息条件下竞赛发起者的收益
例2：假设模型中 。在对竞赛参与人的类型具有完全信息的条件下发起者的期望收益为： 。图2表示当 分别取不同值时竞赛发起者的期望收益随奖励金额的变化而变化的情况。从图中可以发现在几种不同的 组合下皆存在最优奖励使得竞赛发起者的期望收益最大。
例3：假设模型中 。图3表示 分别服从[0.2,1]、[0.2,1.4]、[0.2,1.6]之间的均匀分布时参与人的均衡研发投入随自身研发效率变化的情况。从图中可以看出，研发参与人的类型信息越不完全，参与人的均衡投入越低。
例4：假设模型中。在不完全信息条件下有： 。图4表示当分别服从三个不同区间内的均匀分布时，竞赛发起者的期望收益随着固定奖励金额而变化的情况。从图中也可以发现在服从几种不同的分布时皆存在使得竞赛组织者期望收益最大的最优奖励。
 
图3不完全信息条件下竞赛参与者的均衡投入图4不完全信息条件下竞赛发起者的收益
6.结论
本文以研发质量具有随机性为基础假设，建立了研发竞赛的非合作博弈模型，分别探讨了在对竞赛参与人的类型具有完全信息和不完全信息条件下竞赛参与人与竞赛发起者的最优策略。研究发现：（1）在完全信息条件下，研发效率较高的竞赛参与人的研发投入也较多。竞赛参与人越势均力敌，他们的研发投入也越接近。（2）在不完全信息条件下，参与人的研发投入水平随自身研发效率的降低而降低。研发参与人的类型信息不完全程度越高，参与人的均衡研发投入越低。（3）在不同的参与人类型信息情况下，都存在着唯一的最优奖励使得竞赛发起者的收益最大。在完全信息条件下，竞赛参与人的实力越接近，竞赛发起者能获得最佳收益越低。在不完全信息条件下，对竞争参与人的类型的认知越模糊，竞赛发起者的最佳收益越高。
本文仅考虑了两个竞赛参与者的情况，在未来的研究中可以扩展到多个参与者。另外，在研发质量不确定环境下比较固定奖励和拍卖两种不同的竞赛形式下竞赛发起者的收益大小，也是未来的一个研究方向。
参考文献
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