论文导读：本文将不同尺寸类型的颗粒分别与基体进行均质化。提出一种预测复合材料有效弹性模量的多步骤方法。有效属性，颗粒增强复合材料有效弹性模量预测的多步法。
关键词：复合材料，细观结构，有效属性，均质化
0引言
复合材料是由两种或两种以上组分材料组成的新材料, 根据不同的需要，可以选取不同的组分材料和细观结构来优化材料的性能，在航空航天、建筑、交通等领域得到越来越广的应用。为了预测复合材料的宏观力学属性，人们提出了许多的方法。早期主要以解析模型为主，如Eshelby等效夹杂法[1]、微分法[2]、Mori-Tanaka法[3]等，这些方法只考虑了复合材料结构的一些基本信息，而忽略了复合材料内部的结构特征，计算精度和适用范围有限。随着计算机技术的发展，数值法得到了广泛的应用，如通用元胞法[4-5]和有限元方法[6-8]，其方法通常是对复合材料细观结构的“代表性体积元”（RVE）进行力学分析，进而获得其宏、细观力学性能。数值法很好地考虑了复合材料细观结构特征，预测精度较高。
对于高填充比和填充颗粒尺寸跨度大的复合材料，如固体推进剂[9]，建模时为了使RVE具有代表性，模型中通常包含数百个颗粒，数值法预测这类材料的有效属性时前处理变得异常困难。毕业论文，有效属性。为了解决这一问题，B. Banerjee[10]利用一种递归算法预测了复合材料PBX9501的有效弹性属性，但是该算法所采用的正交化网格并不能很好的反映颗粒的边界。毕业论文，有效属性。K. Matous[11]在进行固体推进剂损伤分析时，通过Mori-Tanaka方法将基体与小尺寸颗粒均质化为一种混合物。毕业论文，有效属性。
本文将不同尺寸类型的颗粒分别与基体进行均质化，提出一种预测复合材料有效弹性模量的多步骤方法。利用多步法计算了不同填充分数和组分模量比复合材料的有效弹性属性，并与全尺寸有限元计算结果进行了对比。
1多步骤法
高填充分数和颗粒尺寸跨度大的复合材料细观结构RVE通常很大，如图1所示。多步法将预测有效弹性属性的过程分为几个步骤，首先将小颗粒与基体视为一种混合物，利用有限元或细观力学等均质化方法计算出其有效属性后，再把它当成一种新的基体，如此反复，直至计算出整个代表性体积元的有效属性，过程如图2所示。在每一步计算过程中，与基体相混合的颗粒种类越多，计算精度也越高，同时计算模型也越大。多步法计算过程中，参与混合的颗粒体积分数通过下式计算得到：
 （1）
其中， 为颗粒在“混合物”中的体积分数， ， 为参与均质化的颗粒和基体体积分数。
图1 复合材料“代表性体积元”
Fig .1 RVE of composite
图2 多步法预测复合材料宏观有效属性过程
Fig.2 Progression of propertyprediction of multi-step method for composite
2均质化方法
2.1有限元法
利用有限元方法预测复合材料有效属性时，首先在将“代表性体积单元”进行网格剖分，再施加周期性边界条件模拟均匀介质的力学行为。周期边界条件表示为
 (2)
其中， 为RVE的边长， ， 为施加于边界上的位移载荷。假定平面应变情况下，通过有限元方法计算得到的细观应力、应变场为 和 ，对其进行体积平均得到平均应力（有效应力）和平均应变（有效应变）
 （3）
 （4）
其中， ， 为平均应力和平均应变， ， 为单元平均应力和单元平均应变， 为单元数， 为单元体积。则二维杨式模量和泊松比计算如下
 （5）
 （6）
三维杨式模量和泊松比可通过上式转化得到[12]
 （7）
 （8）
2.2 Mori-Tanaka方法
解析法中，由于Mori-Tanaka方法计算简单，同时在一定程度上考虑了复合材料中夹杂之间的相互作用，成为预测复合材料有效属性的有效工具，对于多相复合材料，其体积和剪切模量可表示为[13]
 （9）
 （10）
式中， ， ， ， ， , 分别为体积模量和剪切模量， 为体积分数，下标 和0分别代表第 相颗粒与基体, 为相的数目。杨式模量和泊松比为
 （11）
 （12）
由(9)-(10)可知，Mori-Tanaka法只考虑了颗粒体积分数，而忽视了复合材料中颗粒的形状、大小及分布等结构特征。
3计算结果
考虑三相颗粒增强复合材料，各组分为各向同性弹性材料，具体组成及力学参数如表1所示。计算中，颗粒体积分数为40％～70％, 颗粒1与颗粒2之间的体积比为1:1.8。迭代法预测该复合材料的有效弹性模量分两个步骤，每一步分别用有元法（FEM）或Mori-Tanaka（MT）方法计算，计算结果与全尺寸RVE的有限元和Mori-Tanaka计算结果进行对比，全尺寸模型颗粒总数为90，每个单步中颗粒数为50。毕业论文，有效属性。四种多
步法与全尺寸有限元计算结果如图3所示
表1 复合材料组分参数
Tab.1 Parameters of composite constituents
|
|
Diameter（ ） |
Young’s Modulus（ ） |
Poisson’s ratio |
| Binder Particle 1 Particle 2 |
－ 50 30 |
1,100,10000 50000 75000 |
0.45 0.25 0.15 |
(a)
(b)
(c)
图3 复合材料宏观有效模量
Fig.3 Effective Young’s modulus of compositematerial
从图中可以看出，复合材料有效弹性模量随着颗粒体积分数的提高而增加，并且体积分数越接近1，增长越快；随着颗粒体积分数的提高，Mori-Tanaka法的预测结果与有限元的预测结果偏差越来越大，主要原因是高体积分数下颗粒之间的相互作用对宏观有效模量起着重要的作用。毕业论文，有效属性。四种多步法和两种全尺寸模型计算结果的相对误差随着颗粒-基体模量比的减小而减少。毕业论文，有效属性。多步法中MT-MT法因为两次使用Mori-Tanaka方法使得与有限元的计算结果相比误差最大，MT-FEM法因为在颗粒体积分数较高的第一步中使用了解析法，预测精度较FEM-MT要低。FEM-FEM法在高体积分数和高模量比情况下的预测结果都与有限元预测结果有较好的吻合，但是由于前者忽略了两种颗粒之间的相互作用，使得预测结果略低于后者，并且随着体积分数的提高，这种作用加强，步数越多，误差越大。但是对于大多数复合材料而言，两三个步数足够满足要求。多步法中每个迭代步中的颗粒尺寸相近，保证了“代表性体积单元”尺寸较小，颗粒体积分数较全尺寸RVE要低，使得前处理变的较容易。
4结论
本文利用均质化方法提出了预测颗粒增强复合材料有效弹性属性的多步骤方法。多步法将预测过程分为几个步骤，每步分别利用有限元方法或细观力学方法计算。计算结果表明，迭代法可有效减小复合材料“代表性体积元”的尺寸，降低有限元前处理的难度。四种迭代法中，FEM-FEM方法与全尺寸有限元分析结果吻合最好，高体积分数下由于迭代过程中忽略了部分颗粒之间的相互作用，预测结果较有限元预测值低，步数与模型规模成正比，而与计算精度成反比。多步法可利用现有的各种均质化方法，可在一定精度要求下代替全尺寸有限元预测复合材料的有效弹性属性。
参考文献
[1]Shelby J D. TheDetermination of the Elastic Field of an Ellipsoidal Inclusion and RelatedProblems [C]. London: Proceedings of the Royal Society Series A, 1957
[2]Farber J, Farris R. J.Model for prediction of the elastic response of reinforced materials over widerange of concertration [J]. Journal of Applied Polymer Science. 1987, 34(4):2093-2104
[3]Mori T, Tanaka K.Average Stress in Matrix and Average Energy of Materials with MisfittingInclusions [J]. Acta Metall, 1973, 21:571-574
[4]Paley M, Aboudi J.Micromechanics analysis of composites by the generalized cell model [J].Mechanics of Materials, 1992, 14(2):127-139
[5]孙志刚，宋迎东，高德平.改进的二维高精度通用单胞模型[J].固体力学学报，2005， 26(2):235-240
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