论文导读：控制理论是自动化及工业仪表专业的重要专业基础课，理论性极强，它的基本概念及理论贯穿于许多后续课程中，该门课程也是许多学生报考硕士研究生的一门专业课程，因而控制理论的教学显得非常重要。
关键词：控制理论，关键问题，Bode图，Nyquist图
控制理论是自动化及工业仪表专业的重要专业基础课，理论性极强，它的基本概念及理论贯穿于许多后续课程中，该门课程也是许多学生报考硕士研究生的一门专业课程，因而控制理论的教学显得非常重要。为了加强学生对理论知识的理解与应用，根据多年教学经验，对控制理论中几个难点问题的解决提供一些简便的方法。
1 Nyquist稳定判据中D形围线的推广
分析一个实际系统的运动，大家都知道首先要判别它是否稳定，因为不稳定的系统在工程实际中是没有任何意义的。奈魁斯特稳定判据由于它主要靠作图，计算量小；不仅能判断闭环系统是否稳定，而且还可判定系统的稳定裕度；可以提示改善系统稳定性的办法；可以方便的判定带时滞环节系统的稳定性等优点使其在控制系统稳定性的分析中有十分重要的地位，事实上它是整个控制理论频率域的基石。论文格式。根据多年关于控制理论的教学与研究，本文对奈魁斯特稳定判据D形围线（奈魁斯特轨迹）提供一种新的较为实用的选取方式。
1.1奈魁斯特轨迹的另一种选取
在给定系统的开环传函，应用奈魁斯特稳定判据来判定闭环系统是否稳定时，如果系统的开环传函中含有位于虚轴的极点和（或）零点，按照教材提供应采用半径为无穷小的右半圆对D形围线加以改变，并将改变后的D形围线称为广义D形围线，如图1-1所示，此时位于虚轴的零极点不计入广义D形围线内。经严密分析及大量实例验证，亦可采用半径为无穷小的左半圆对D形围线加以改变，从而得到另一种较为实用的广义D形围线，如图1-2所示，注意此时位于虚轴的零极点必须计入广义D形围线内。
图1-1 S平面D形围线图1-2 S平面D形围线的推广
Fig.1 D shape loop_lineon the S face
1.2应用
一工业反馈系统的数学模型—开环传递函数为
 =  其中 >0， >0
要求应用奈魁斯特稳定判据来判定闭环系统是否稳定。
由所给系统开环传递函数可知系统有一个位于原点的开环极点：
 ⑴ 按照教材S平面选用图1-1所示广义D形围线时，在半径为无穷小（ε<<1）的半圆轨迹上，复变量S可以写成S=εejθθ= -90O—0O—90O。此种情况下开环传递函数位于S平面广义D形围线内的极点数P=0。S平面广义D形围线映射到GH平面的轨迹如图2-1所示，其中临界增益Kcr= 1/T1+1/T2。由奈魁斯特稳定判据可知：
 当K>临界增益Kcr时，GH平面的轨迹顺时针包围（-1，j0）点2圈，即N=2，由Z=N+P可得Z=2，故闭环系统不稳定，且有2个右半平面的根；
当K<临界增益Kcr时，GH平面的轨迹不对（-1，j0）点作包围，即N=0，由Z=N+P可得Z=0，故闭环系统稳定。
⑵ S平面选用图1-2所示广义D形围线时，在半径为无穷小（ε<<1）的半圆轨迹上，复变量S应该写成S=εejθθ= -90O—（-180 O）—（-270O）。此种情况下开环传递函数位于S平面广义D形围线内的极点数P=1。S平面广义D形围线映射到GH平面的轨迹如图2-2所示，由奈魁斯特稳定判据可知：
当K>临界增益Kcr时，GH平面的轨迹顺时针包围（-1，j0）点1圈，即N=1，由Z=N+P可得Z=2，故闭环系统不稳定，且有2个右半平面的根；
当K<临界增益Kcr时，GH平面的轨迹逆时针包围（-1，j0）点1圈，即N=-1，由Z=N+P可得Z=0，故闭环系统稳定。
⑴、⑵两种情况结论完全相同，由此可验证选取图1-2所示广义D形围线是完全可行的。
图2-1 GH平面映射轨迹图2-2 GH平面映射轨迹
Fig.2 G(S)H(S) track on the GH face
2绘制 Nyquist图时，临界增益Kcr的求取
GH平面映射轨迹的绘制难点在于极坐标与实轴交点的准确求取，即临界增益Kcr的准确求取，临界增益Kcr简单的说就是极坐标图通过（-1，j0）点时的K值。论文格式。通过多年教学发现，学生对于临界增益Kcr的求法不甚明了，在此根据多年教学经验给出两种临界增益Kcr的求取方法，以供参考。
方法1：利用复数的模角表示方式
极坐标图通过（-1，j0）点时有
argG（jω）H（jω） = -1800 （1）
G（jω）H（jω） =1 （2）
成立，由（1）式可解出ω，代入（2）式即可求得临界增益Kcr。论文格式。此种方法较为常用，教材中也有所介绍，但是由于要解反三角函数方程，因此当系统阶次较高时ω很难求出，这正是方法1的局限所在。
方法2：利用复数的实虚部表示方式
极坐标图通过（-1，j0）点时还有
Im（G（jω）H（jω）） =0 （3）
Re（G（jω）H（jω）） = -1 （4）
成立，由（3）（4）两式联立求解，即可求得临界增益Kcr。该种方法教材中虽未介绍，但由于其只涉及到代数方程的求解问题，因此当系统阶次较高时方法2要明显优于方法1。
3 给定Bode图求系统传递函数时，增益K及截止频率ωc的简便求法
通常增益K及截止频率ωс均是根据在某一频率处忽略某一部分从而使传递函数得以简化的方法求取，需仔细判断应忽略哪一部分，如使用不熟练很难避免不出错误。根据多年教学经验，在此通过实例为大家推荐一种求取增益K及截止频率ωс的简便方法。
图3为一最小相位系统的开环对数幅频特性(折线)图。
图3 系统波德图
Fig.3System Bode chart
由所给对数幅频特性(折线)图可写出开环传递函数G0(S)的表达式为:
G0(S)=K(50S+1)/S(500S+1)(5S+1)(S+1)
对数幅频特性(折线)图首段斜率为-1,由教材可知首段延长线与ω轴交点之ω值等于K值,故由
52-20lg(K/0.002)= 0 可解得 K≈0.8 再由:
52-40lg(0.02/0.002)-20lg(ωс/0.02) = 0 可解得 ωс≈0.08
故开环传递函数G0(S)=0.8(50S+1)/S(500S+1)(5S+1)(S+1)。
4 结束语
上述控制理论中难点问题的解决方法是笔者多年从事教学、研究基础上思考、总结而得，每一种方法都有其理论依据，并经过大量系统验证方法正确无误。希望本文提供的内容能对读者控制理论的教与学有所帮助。
[参考文献]
[1]胡寿松.自动控制原理.北京：国防工业出版社，1994.
[2] 绪方胜彦著，卢伯英等译.现代控制工程（中译本）.科学出版社，1978.
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