学生面试问题中教师人数的下界

论文导读：利用mathematica软件编程可得到任两位学生的“面试组”都没有两位以及三位面试老师相同的情形下的求解结果。在本问题中任两位学生的“面试组”没有两位面试老师相同的情形是BIBD（M，4，1）。从问题的分析与求解中看出虽然数据拟合、图论和组合数学中平衡不完全区组设计（BIBD）的三种方法虽然方法不同，处理角度各异。
关键词：数据拟合，mathematica，平衡不完全区组设计，BIBD
 

0背景

高校自主招生是高考改革中的一项新生事物，并且有日益扩大的趋势。本问题的提出可视为这种现实趋势的一种反映。问题如下：某高校拟在全面衡量考生的高中学习成绩及综合表现后再采用专家面试的方式决定录取与否。该校在今年自主招生中，经过初选合格进入面试的考生有N人，拟聘请老师M人。每位学生要分别接受4位老师（简称该学生的“面试组”）的单独面试。面试时各位老师独立地对考生提问并根据其回答问题的情况给出评分。免费论文参考网。由于这是一项主观性很强的评价工作，老师的专业可能不同，他们的提问内容、提问方式以及评分习惯也会有较大差异，因此面试同一位考生的“面试组”的具体组成不同会对录取结果产生影响。免费论文参考网。为了保证面试工作的公平性，设考生数N已知，在满足面试不同考生的“面试组”成员不能完全相同条件下说明聘请老师数M至少分别应为多大，才能做到任两位学生的“面试组”都没有两位以及三位面试老师相同的情形。免费论文参考网。

1基本假设

根据以上问题及实际情况建立如下假设：

（1） 各位老师对考生提出的问题难度系数均衡，保证评价的客观性和科学性；

（2）不考虑面试先后对录取结果产生的影响；

（3）不考虑分配方案可能造成的面试时间冲突；

（4）不考虑面试中学生的等待时间和教师的休息时间；

（5）不考虑将任意两个老师分配到同一组中可能造成的情绪影响；

（6）任意两名老师面试同一名学生时得到的录取与否的结论是一致的，即不考虑由于面试组老师搭配的不同而对录取结果产生的影响。

2符号说明：

——学生的总人数；——老师的总人数；

3问题的分析与求解

3.1利用mathematica进行多项式拟合求解上界

利用mathematica软件编程可得到任两位学生的“面试组”都没有两位以及三位面试老师相同的情形下的求解结果。

1）任两位学生的“面试组”没有两位面试老师相同的情形

考虑到在约束不苛刻的情况下，当老师人数为40时它的全排列就达到91390，也就是说40个老师最多可以面试91390个学生。这是相当大的数！所以在求解的过程中选定面试老师人数的变化范围为4—40来考察面试老师人数与学生人数之间的关系（具体结果见表1和图1）。

表1 没有两位老师相同的情形下，老师人数与学生人数之间的关系表格

由表1可见面试老师人数与学生人数之间没有明显的规律。利用mathematica拟合出面试老师人数与学生人数之间的关系函数：N=0.063816M2-0.043323M-0.722367

图1 没有两位老师面试老师相同的情形下，老师人数与学生人数的拟合曲线

*代表实际数据

2）任两位学生的“面试组”没有三位面试老师相同的情形

由于任两位学生的“面试组”没有三位面试老师相同的限制条件比任两位学生的“面试组”没有两位面试老师相同的限制条件要宽，从而使老师人数相同下，可面试的学生人数迅速增大，所以我们选定面试老师人数的变化范围为4—32，来考察面试老师人数与学生人数之间的关系，具体结果见表2和图2。

表2 没有三位老师相同的情形下，老师人数与学生人数之间的关系表格

由表2可见利用mathematica拟合出面试老师人数与学生人数之间的关系函数：N=-147.785+42.2974x-3.41509x2+0.107292x3

图2 没有三位老师面试老师相同的情形下，老师人数与学生人数的拟合效果图

*代表实际数据

3.2运用图论知识求解

设G为n阶无向简单图，若G中的每个点均与其余的n-1个顶点相邻，则称G为n阶无向完全图，记为[2].如四阶完全图。

1）任两位学生的“面试组”没有两位面试老师相同的情形

如果用G的每个顶点来表示不同的老师，用边表示老师在同一个“面试组”这一关系，则G中无边重复的K4图就对应了一个“面试组”方案。同时每有一个面试方案就意味着老师可以接受一个考生的面试请求。于是本问题就等价于下面一个对偶的图论问题：

对偶命题：设G是一个n阶无向完全图，当G中无重复边的的个数为N时求能够满足条件的最小的n值。

定理:对于一个n阶完全图G，N表示G中无重复边的的个数，则必有：

证明：对于G来说，从中每删除一个子图，G的边就将减少6条。则G能提供的的最大个数为：，进一步有

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