| 定理 3：用边e2和e2'取代边e和e'将消去边e和e'所在的n环，并且同时没有生成新的小于n或等于n的新环。(定理1、2和3在文献[6]中有详细证明过程)
以上为如何通过交换节点之间的边来消去检测到的需要消去的环。接下来要解决的问题就是如何通过该方法首先保证度数低的节点之间的环的长度最大化，再保证整个LDPC码的环的最大化。
我们可以通过如下两个方案完成局部消环。
方案一：令H=[Hh Hl],其中Hh由校验矩阵H中度数高的节点组成。Hl由校验矩阵H中度数高的节点组成。 （因为最佳度分布中校验节点的度数基本不变，所以这里指的度数高低只针对于变量节点。）首先根据(7)式寻找一条边e，然后按(8)式寻找集合Ce，在Ce中随机选取一条边，再按图1所示交换这两条边所在节点之间的边，使Hl部分中短环尽量的消去。然后消去H中的短环，在这个过程中通过(10)式选取的环上的一条边和Ce中节点的选择都限制在Hh中，这样我们就没有改变Hl中的边，从而使H中的短环消去的同时保证Hl没有改变。免费论文，围长。方案二：如方案一，同样先尽可能大的消去Hl中的短环。假设经过消环后，Hl中的最小环长为m。从四环开始，根据(10)式选取环上的一条边e。接下来选取Ce，将(11)式修改为 ，在Ce中随机取一条边e’。然后按图2交换e和e’节点之间的边。由定理3可知交换后不会产生小于或等于m的环。通过这个步骤就消去了4环，同时没有产生小于或等于m的环。重复上述步骤，消去6、8,直到m-2环。
方案一和方案二都可以完成局部消环。实际运行中，方案一的可行性远远高于方案二，效果也比方案二好。
4 仿真结果及讨论
为了验证局部消环相比于只简单的整体消环方法的更优性能，本文给出了局部消环和整体消环在相同码长、AWGN信道条件下，用BP算法迭代译码的误码率、误帧率仿真结果图。 
图3 分别通过局部消环和整体消环构造的码长为1000、码率1/2的LDPC码性能比较
图3中的码码率都为1/2，码长为1000。LR-part和LR-whole的度分布为文献[3]中给出的最大变量节点为9时的最佳度分布。该度分布下变量节点的度数为2、3和9。我们将2和3看成低度数，9看成高度数。LR-part码为方案一局部消环后的码，其中度2和3之间的最小环长为12，整体环长为6。LR-whole为只整体消环的码，其中整体环长为8。
图3的码最大迭代次数都为80。仿真结果表明，我们通过局部消环的矩阵由于优先保证了度数小的节点之间环的最大化，而比直接整体消环所构造出的LDPC码译码性能要高。
5 结论
直接构造出不包含短环的LDPC码是困难的。本文讨论了一种首先随机生成一给定度分布下的LDPC码，然后通过交换节点之间的边的方法，先最大可能地消去度数低的节点之间的短环，然后在保证度数低的节点之间最小环不变的情况下最大可能地消去整个LDPC码中短环的方案。由于该方法在消去LDPC码短环的同时并没有改变该LDPC码对应的Tanner图中节点的度分布，从而得到一个不包含短环而度分布确定的LDPC码。该方法尽最大可能降低了环对降低LDPC码译码性能的影响。仿真结果表明，该方法相比于只简单的从整体上消去短环构造的LDPC码更好地改善了LDPC码的性能。
算法1： 校验矩阵H的局部消环。
1 B=H中度数低的节点构成的部分
2 C=H中度数高的节点构成的部分
3 B1=对B消环
4 H1=[C B1]
5 A= 
6 n=4
7 由(7)选取一条边e，并且该边在H1中度数高的节点之间
8 由(8)式选取集合Ce
9 Ee={所有Ce中节点组成的H1的边，并且这些边的变量节点属于度数高的部分}
10 如果Ee不空，交换e和e'，更新H1和A
11 n=n+2
12 重复7-11，直到没有可以交换的边
参考文献：
[1]R. G. Gallager, Low-Density Parity-Check Codes. Cambridge[D], MA:MIT Press, 1963.
[2]D. J. C. MacKay and R. M. Neal, “Near-Shannon-limitperformance of low density parity check codes[J] ” Electron. Lett., vol. 32,Aug. 1996: 1645-1646.
[3]Thomas J.Richardson, M.Amin Shokrollahi,andRudiger L.Urbanke, “Design of capcacity-approaching irregular low-densityparity-check codes[J],” IEEE Trans, Inf.Theory, vol 47, no.2.Feb.2001:619-637.
[4]赵岭,张晓林,朱曼洁,一种用于规则QC-LDPC码的高效译码方法2007 33(09):64-65
[5]J. Pearl, ProbabilisticReasoning in Intelligent Systems: Networks of Plausible Inference. San Francisco, CA: Morgan Kaufmann, 1988.
[6]James A.McGowan and RobertC.Williamson, “Loop removal from LDPC codes,” ITW2003. Paris, France, march 31-April 4,2003: 230-233.
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