论文导读：本文在介绍奇异值分解基本原理的基础上，实现了基于奇异值分解的图像压缩，并给出了相关的Matlab程序。本文以Lena图像为例，说明了奇异值分解压缩率和峰值信噪比之间的关系，实验结果表明奇异值分解可较好地实现图像压缩。
关键词：图像压缩，奇异值分解，压缩率，峰值信噪比
1.前言
图像压缩是数字图像压缩的简称，图像压缩又称为图像压缩编码或图像编码。在数字图像的存储、处理和传送过程中，采用高效的图像压缩技术可以节省传输资源、降低传输时间、提高传输效率。科技论文。图像压缩要解决的问题是尽量减少表示数字图像时需要的数据量[1]。科技论文。论文参考。
目前应用较为广泛的图像压缩方法有统计编码、预测编码、变换编码、分形图像压缩编码、利用神经网络的图像编码等。近年来，奇异值分解方法在图像压缩编码上的应用得到了重视[2-3]。本文在介绍奇异值分解原理的基础上，以512×512的Lena图像为例，给出了算法的Matlab程序，并对算法进行了评价。
2.奇异值分解的图像压缩原理
矩阵A的奇异值定义如下[4]：设 （r>0），且AHA的特征值为
 （1）
则称 （i=1，2，…，n）为A的奇异值。
设Σ=diag(σ1，σ2，…，σr)，由式（1）可知，σi（i=1，2，…，r）为A的非零奇异值。科技论文。U为m阶酉矩阵，V为n阶酉矩阵，若满足
 （2）
则称式（2）为A的奇异值分解[4]。若U写成U =[u1，u2，…，um]的形式，V写成V=[v1，v2，…，vn]的形式，则式（2）可写成如下形式：
 （3）
由于大的奇异值对图像的贡献大，小的奇异值对图像的贡献小，所以可以从r个奇异值生成矩阵中选取前k个（k<r）近似表示图像A，即取：
 （4）
近似表示图像A。
存储图像A需要mn个数值，存储图像Ak需（m+n+1）k个数值，若取
 （5）
则可达到压缩图像的目的，比率
 （6）
称为压缩率。论文参考。论文参考。
3.奇异值分解图像压缩的Matlab实现
Lena的图像矩阵共有512个非零奇异值，其奇异值特征曲线如图1所示，随着i的增加，σi迅速减小。σ1=64519，当i≥36时，σi＜1000。
图1 图像Lena的奇异值特征曲线（512×512）
采用奇异值分解对该图像进行压缩，Matlab代码如下：
infile='Lena.bmp';
outfile='Lena2.bmp';
k=40;
A=imread(infile);
A=double(A);
[u,s,v] = svds(A,k);
im = uint8(u * s* v');
imwrite(im,outfile);
figure;imshow(im);
原始图像的文件名为Lena.bmp，将压缩后的图像命名为Lena2.bmp，程序的第6行计算矩阵A的最大k个奇异值与相关的奇异向量，得到u=[u1，u2，…，uk]，s=diag(σ1，σ2，…，σk)，v=[v1，v2，…，vk]。在使用svds函数时，需要先将A的数据类型转换为double型（程序第5行），这里k取40（程序第3行）。程序第7行对应公式（4），变量im存放压缩后的图像A40，程序第8行将A40保存为文件Lena2.bmp.
4.结果与讨论
在公式（4）中，k的取值不同时，矩阵Ak表示的图像效果有所不同，如图2所示（a）为原始图像，（b）、（c）、（d）、（e）、（f）分别为A40、A80、A120、A160、A200所表示的图像。从图（2）可知，k的取值越大，压缩后的图像效果越好，但同时压缩率越小。对图像Lena而言，k取80时，压缩后的图像A80已非常接近原图像。
  
（a）（b）（c）
  
（d）（e）（f）
图2 k取值不同时图像Lena基于奇异值分解压缩的效果
不同的k值下，Lena图像的压缩率和峰值信噪比（dB）如表1所示：
表1 不同k值时Lena图像的压缩率和峰值信噪比（dB）
|
|
k=40 |
k=80 |
k=120 |
k=160 |
k=200 |
| σk |
891.7391 |
426.6649 |
248.6300 |
155.2197 |
108.4801 |
| CR |
6.3938 |
3.1969 |
2.1313 |
1.5984 |
1.2788 |
| PSNR |
33.8219 |
37.1038 |
40.5122 |
43.5443 |
46.1676 |
在对矩阵进行奇异值分解时，采用分块的方法可降低计算量[3]。此外，若将奇异值分解与小波变换相结合对图像进行压缩[5-6]，可以在相同压缩率的情况下，得到更高的峰值信噪比。
参考文献
[1]Rafael C. Gonzalez,Richard E. Woods. 数字图像处理（第二版）[M]. 阮秋琦, 阮宇智, 译. 北京: 电子工业出版社. 2005
[2]胡乡峰, 卫金茂. 基于奇异值分解（SVD）的图像压缩[J].东北师大学报（自然科学版）, 2006, 38(3):36-39
[3]吴俊政. 一种基于奇异值分解的图像压缩方法[J]. 计算机与数字工程. 2009, 37(5):136-138
[4]徐仲, 张凯院, 陆全, 等. 矩阵论简明教程（第二版）[M]. 北京：科学出版社, 2005
[5]叶松, 戴才良, 于志强, 等. 基于小波域奇异值分解的图像压缩算法[J]. 计算机工程与应用. 2008, 44(18):183-185
[6]刘汉强. 基于奇异值分解（SVD）和小波变换的图像压缩算法[J]. 福建电脑. 2008, (1):55-56
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