工程测量中高斯-克吕格投影换带计算的应用

摘要：在工程测量中，采用国家坐标系统在高海拔地区、离中央子午线较远的区域，投影长度变形会大于规定的值（如《工程测量规范》为2.5cm/km），这就要求进行换带计算或建立独立坐标系。本文以玉林市龙潭产业园的项目为例，分析换带计算的原因及实际应用。
论文关键词：换带计算,正算,反算,高斯-克吕格投影,中央子午线

1、概述

在测量项目中，有些测区刚好处于投影带边缘，甚至有些工程横跨两个或两个以上投影带，如交通、水利、电力等较长的线路，为了坐标统一的需要，可以进行坐标换带，将相邻带的坐标换成同一系统的数据。

坐标换带有直接换带计算法和间接换带计算法两种，间接换带计算法就是根据第一带的平面坐标x1,y1和中央子午线的经度L1，按高斯-克吕格投影坐标反算公式求得大地坐标B、L，然后根据B,L和第二带的中央子午线经度L2，按高斯-克吕格投影坐标正算公式求得在第二带中的平面坐标x2、y2。由于在换带计算中，把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标，因而称为间接换带法。这种方法理论上严密，精度高，而且通用性强，虽然计算量较大，但可用电子计算机计算来克服，已成为坐标换带中最基本的方法。

2、换带计算公式

用a表示椭球长半轴，b表示椭球短半轴，f=为扁率，e=为第一偏心率，eˊ=为第二偏心率，N=为卯酉圈曲率半径，R=为子午圈曲率半径，B表示经度，L表示纬度。

2.1高斯-克吕格投影反算公式：

B=Bf-[-(5+3Tf+Cf-9TfCf)+(61+90Tf+45Tf2)]

L=L0+[D-(1+2Tf+Cf)+(5+28Tf+6Cf+8TfCf+24Tf2)]

式中：

Nf==, Rf=

Bf=φ+(-)sin2φ+(-)sin4φ+ sin6φ, e1=

φ=, Tf=tg2Bf , Cf= eˊ2cos2Bf , D=

2.2高斯-克吕格投影正算公式：

XN=k0{M+NtgB[+(5-T+9C+4C2)]+(61-58T+T2+270C-330TC)

YE=FE+ k0N[A+(1-T+C)+(5-18T+T2+14C-58TC)]

式中：

k0=1 , T=tg2B , C=eˊ2cos2B , A=(L- L0)cosB , N==

M=a[(1---)B-(--)sin2B+(-)sin4B-sin6B

东西偏移量FE=500000米+带号*1000000

3、换带计算的应用

3.1进行换带计算的步骤分析

通常建立独立坐标系的方法是以一个国家控制点和方位角作为起算数据，观测边投影到平均高程面。此法在理论上不严密，会因为起算点不同而有不同结果，坐标不能统一，无法充分利用国家控制点的精度。所以需要通过严密换算公式，将国家坐标实现高精度的转换，形成独立的坐标系统。

在海拔较低的地区（200m以下），合理地选择处于测区中间位置附近的中央子午线，利用高斯-克吕格投影正反算公式计算，可以有效解决投影变形。对于海拔较高的地区，可以选择测区的平均高程面作为投影面，解决投影变形的问题。

确定国家坐标系的参考椭球的长半径，短半径，扁率，第一偏心率，第二偏心率等要素后，根据三个步骤进行坐标转换计算：确定投影面的大地高计算参考椭球的长半径；根据高斯-克吕格投影反算经纬度；利用椭球参数，根据高斯-克吕格投影正算转换的平面坐标。

3.2换带计算的实际应用

玉林市龙潭产业园的测区范围处于东经109°42′-109°48′、北纬21°40′-21°43′，海拔在10-40m之间，但处在108度带和111度带中间位置，距离变形达到12.4cm/km，对后续的控制测量、地形测量会带来很大的影响，超出了《工程测量规范》的允许范围，将3°转换为中央子午线为109.5°的独立分带，可以有效消除投影变形的影响。

首先，通过EXCEL电子表格，将已有的D级GPS点的坐标代入反算公式，计算出各控制点的经纬度，再将经纬度结果代入正算公式，设置中央子午线为109.5°，就可以得到独立分带的坐标。计算结果如下表：

经换带计算后，该测区的投影变形小于0.2cm/km，远小于规范中2.5cm/km的要求。

4、小结

在高海拔地区、离中央子午线较远的投影变形区域，高斯-克吕格投影正反算作为通用而严密的间接换带计算方法，可以弥补椭球模型的不足之处，为保证工程质量起到应有的作用。

参考文献：
[1]GB50026-2007，工程测量规范，2008.5.
[2]孔祥元.郭际明.刘宗泉.大地测量学基础.武汉测绘科技大学出版社.2001.
[3]王继刚，王坚，于先文.具有抵偿面的任意带高斯投影直角坐标系的选取方法.测绘通报，2002